Probabilità attraversamento vaglio
Ciao, sto cercando di capire la seguente formula (valida per $ D<=L_f $ )
$ P_D=((L_f-D)/L_f)^2*S_a/S_v $
che calcola la probabilità di passaggio $ P_D $ attraverso le aperture di un vaglio ( $ L_f $ rappresenta la lunghezza caratteristica dei fori, pari al diametro nel caso di aperture circolari, ed al lato nel caso di aperture di forma quadrata) per la generica particella assunta di forma sferica e di diametro $ D $ .
$ S_a $ e $ S_v $ rappresentano rispettivamente la superficie totale delle aperture e la superficie totale del vaglio.
Presumo che la suddetta formula rappresenti l'intersezione di 2 eventi:
- la probabilità di centrare il foro pari a $((L_f-D)/L_f)^2 $;
- la probabilità di intercettare un foro pari a $ S_a/S_v $.
Nel caso in cui il ragionamento fosse giusto, mentre mi è abbastanza chiaro che il rapporto $ S_a/S_v $ rappresenta la "densità" delle aperture, non riesco a capire bene il significato di $((L_f-D)/L_f)^2 $.
Qual è modo corretto di interpretare la formula?
$ P_D=((L_f-D)/L_f)^2*S_a/S_v $
che calcola la probabilità di passaggio $ P_D $ attraverso le aperture di un vaglio ( $ L_f $ rappresenta la lunghezza caratteristica dei fori, pari al diametro nel caso di aperture circolari, ed al lato nel caso di aperture di forma quadrata) per la generica particella assunta di forma sferica e di diametro $ D $ .
$ S_a $ e $ S_v $ rappresentano rispettivamente la superficie totale delle aperture e la superficie totale del vaglio.
Presumo che la suddetta formula rappresenti l'intersezione di 2 eventi:
- la probabilità di centrare il foro pari a $((L_f-D)/L_f)^2 $;
- la probabilità di intercettare un foro pari a $ S_a/S_v $.
Nel caso in cui il ragionamento fosse giusto, mentre mi è abbastanza chiaro che il rapporto $ S_a/S_v $ rappresenta la "densità" delle aperture, non riesco a capire bene il significato di $((L_f-D)/L_f)^2 $.
Qual è modo corretto di interpretare la formula?
Risposte
Sì, la tua intuizione è corretta: l'interpretazione della formula è proprio quella che hai immaginato. Ma per poterla applicare alla risoluzione di un problema occorrono ulteriori ipotesi...ad esempio occorre ipotizzare che la posizione della pallina si sia uniforme su tutta la superficie $S_v$....se ad esempio la pallina fosse lanciata da una persona (che prende la mira per centrare uno dei fori) le cose non funzionererebbero così..
Ora, sotto le opportune condizioni, veniamo alla spiegazione della formula: Prendiamo (con le pinze perché l'ho disegnata con Paint...) la seguente immagine
La probabilità che la pallina "centri" un singolo buco è data, come sempre, dal rapporto $("# Casi Favorevoli")/("# Casi Possibili")$ che, nel caso in esame, è il rapporto fra le aree dei due cerchi concentrici della figura a sinistra, dove
1) il cerchio più grande rappresenta il buco, di diametro $L_f$
2) il cerchio più piccolo concentrico rappresenta l'area teorica favorevole
3) il cerchio più piccolo rappresenta la pallina di diametro $D$
$(pi/4(L_f-D)^2)/(pi/4 L_f^2)=((L_f-D)/L_f)^2$
Evidentemente, per calcolare la probabilità che la pallina centri uno qualsiasi degli n buchi del vaglio (figura di destra) occorre anche moltiplicare la probabilità precedente per il rapporto delle aree $S_a/S_v$
fine
Ora, sotto le opportune condizioni, veniamo alla spiegazione della formula: Prendiamo (con le pinze perché l'ho disegnata con Paint...) la seguente immagine
La probabilità che la pallina "centri" un singolo buco è data, come sempre, dal rapporto $("# Casi Favorevoli")/("# Casi Possibili")$ che, nel caso in esame, è il rapporto fra le aree dei due cerchi concentrici della figura a sinistra, dove
1) il cerchio più grande rappresenta il buco, di diametro $L_f$
2) il cerchio più piccolo concentrico rappresenta l'area teorica favorevole
3) il cerchio più piccolo rappresenta la pallina di diametro $D$
$(pi/4(L_f-D)^2)/(pi/4 L_f^2)=((L_f-D)/L_f)^2$
Evidentemente, per calcolare la probabilità che la pallina centri uno qualsiasi degli n buchi del vaglio (figura di destra) occorre anche moltiplicare la probabilità precedente per il rapporto delle aree $S_a/S_v$
fine
Grazie, chiarissimo. La prima immagine è stata illuminante! 
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