[Probabilità] Arianna e le fragole
Arianna accompagna sua madre al mercato. Lei è responsabile di un cesto di fragole che ne contiene $a$ ben mature e $b$ meno mature. Appena sua madre si gira Arianna prende le fragole, una per volta, $n$ volte, in maniera del tutto casuale. Se la fragola è ben matura la mangia altrimenti la rimette nel cesto.
1- Calcola la probabilità che Arianna:
- mangi asattamente una fragola
- mangi almeno una fragola
2- Si supponga che Arianna ha mangiato una sola fragola, calcolare la probabilità che sia la n-esima che ha preso
per quanto riguarda il primo punto..
la probabilità che Arianna mangi esattamente una sola fragola sta nel fatto che riesca a prendere una volta la fragola ben matura e il resto delle n-1 volte fragole meno mature; quindi faccio: $(a/(a+b))*(1-(a/(a+b)))^(n-1)$
la probabilità che Arianna mangi almeno una fragola secondo il mio istinto tende all'infinito
per quanto riguarda il secondo punto non so dove mettermi le mani sinceramente
Aiutatemi per favore
1- Calcola la probabilità che Arianna:
- mangi asattamente una fragola
- mangi almeno una fragola
2- Si supponga che Arianna ha mangiato una sola fragola, calcolare la probabilità che sia la n-esima che ha preso
per quanto riguarda il primo punto..
la probabilità che Arianna mangi esattamente una sola fragola sta nel fatto che riesca a prendere una volta la fragola ben matura e il resto delle n-1 volte fragole meno mature; quindi faccio: $(a/(a+b))*(1-(a/(a+b)))^(n-1)$
la probabilità che Arianna mangi almeno una fragola secondo il mio istinto tende all'infinito
per quanto riguarda il secondo punto non so dove mettermi le mani sinceramente
Aiutatemi per favore
Risposte
1b) una probabilità non puó tendere a infinito, semmai a $1$.
1a) devi usare la binomiale. Chiamando $p_a$ la probabilità di prenderne una matura e $p_b=1-p_a$ una non matura (con $p_a=a/(a+b)$, hai la probabilità $P_k$ di prenderne $k$ mature (nel tuo caso poni $k=1$). $P_k= (p_a)^k*(p_b)^{n-k}*((n),(k))$.
1b) per calcolare la probabilità che ne mangi almeno una, calcola quella che non ne mangi, cioè $P_0=(p_b)^n$ e poi fai $P=1-P_0$.
1a) devi usare la binomiale. Chiamando $p_a$ la probabilità di prenderne una matura e $p_b=1-p_a$ una non matura (con $p_a=a/(a+b)$, hai la probabilità $P_k$ di prenderne $k$ mature (nel tuo caso poni $k=1$). $P_k= (p_a)^k*(p_b)^{n-k}*((n),(k))$.
1b) per calcolare la probabilità che ne mangi almeno una, calcola quella che non ne mangi, cioè $P_0=(p_b)^n$ e poi fai $P=1-P_0$.
Grazie mille... credo di aver capito 
sicuri che il modello binomiale sia giusto? le fragole una volta mangiate non ci sono più quindi le prove di Bernoulli NON sono i.i.d.
forse si può provare a risolverlo con una ipergeometrica
forse si può provare a risolverlo con una ipergeometrica
Per quanto riguarda il primo punto:
La probabilità che Arianna mangi esattamente una fragola in $n$ prove si distribuisce come una v.c. binomiale, in quanto si chiede di calcolare la probabilità che peschi esattamente una fragola matura, infatti se ne trovasse una acerba, la rimetterebbe dentro il cestino, tornando cosi ad avere $a+b$ fragole e, come si può ben vedere, la popolazione resta invariata di numero finché non ne trova una matura, avendone così $a+b-1$, visto che quella matura l'ha mangiata.
La probabilità che ne mangi invece almeno una significa chiedere $P(X) ge 1$ però bisogna ricordare che se Arianna trova una fragola acerba la rimette nel cestino, quindi non si tratta di una vera e propria ipergeometrica, perché a volte le reinserisce, a volte no. (In una distribuzione ipergeometrica, se ho una popolazione composta da venti elementi, il massimo numero di tentativi che posso fare è, appunto, venti, in quanto l'elemento che estraggo non lo reinserisco nell'ipotetica urna).
Per quanto riguarda il secondo punto, invece, io farei riferimento alla distribuzione geometrica, la quale rappresenta il tempo d'attesa per variabili discrete.
La probabilità che Arianna mangi esattamente una fragola in $n$ prove si distribuisce come una v.c. binomiale, in quanto si chiede di calcolare la probabilità che peschi esattamente una fragola matura, infatti se ne trovasse una acerba, la rimetterebbe dentro il cestino, tornando cosi ad avere $a+b$ fragole e, come si può ben vedere, la popolazione resta invariata di numero finché non ne trova una matura, avendone così $a+b-1$, visto che quella matura l'ha mangiata.
La probabilità che ne mangi invece almeno una significa chiedere $P(X) ge 1$ però bisogna ricordare che se Arianna trova una fragola acerba la rimette nel cestino, quindi non si tratta di una vera e propria ipergeometrica, perché a volte le reinserisce, a volte no. (In una distribuzione ipergeometrica, se ho una popolazione composta da venti elementi, il massimo numero di tentativi che posso fare è, appunto, venti, in quanto l'elemento che estraggo non lo reinserisco nell'ipotetica urna).
Per quanto riguarda il secondo punto, invece, io farei riferimento alla distribuzione geometrica, la quale rappresenta il tempo d'attesa per variabili discrete.
Per il punto 1a io farei:
$a/(a+b)*(b/(a+b-1))^(n-1)*n$
Per il punto 1b
$1-(b/(a+b))^n$
Per quanto riguarda il punto 2 (forse sto dicendo una fesseria mostruosa....), poichè si sa che su n tentativi, ha beccato la fragola buona una volta sola, io direi semplicemente:
$1/n$
$a/(a+b)*(b/(a+b-1))^(n-1)*n$
Per il punto 1b
$1-(b/(a+b))^n$
Per quanto riguarda il punto 2 (forse sto dicendo una fesseria mostruosa....), poichè si sa che su n tentativi, ha beccato la fragola buona una volta sola, io direi semplicemente:
$1/n$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo