Probabilità
Consideriamo 3 scatole: la prima contiene 5 palline rosse e 5 nere, la seconda 3 rosse e 6 nere, la terza 4 rosse e 6 nere. Si estraggono due palline da una scatola (si intende per ogni scatola o una?). Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere. Se le palline estratte sono nere, qual è la probabilità che siano state estratte dalla prima scatola?
Come risolvere questa cosa?
Grazie per la vostra futura collaborazione
Come risolvere questa cosa?
Grazie per la vostra futura collaborazione
Risposte
Dato che il testo non lo dice penso che le tre scatole siano equiprobabili, ad ogni modo: indico con $\omega_i$ il risultato dell'i-esima estrazione, con $A$ la scelta della prima scatola, con $B$ la scelta della seconda, con $C$ la scelta della terza, con $N$ la pallina nera estratta, allora la probabilità richiesta è:
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | A)*P(A) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | B)*P(B) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | C)*P(C)$ =
$P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A)*P(\omega_1 = N | A)*P(A) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | B)*P(\omega_1 = N | B)*P(B) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | C)*P(\omega_1 = N | C)*P(C) =$
$ \frac{4}{9}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{5}{8} * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} + \frac{5}{9} * \frac{3}{5} * \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{5}{24} + \frac{1}{6} =\frac{35}{108} $ a meno di errori di calcolo...
Per il secondo:
$P(A | \omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) * P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = $
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = k$ è già stata calcolata al punto precedente, resta da calcolare:
$P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) = P((\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)|A)/(P(A)) = $
$ = 2*P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A) * P(\omega_1 = N | A) = 2 * 4/9 * 1/2 = 4/9$.
Dunque la probabilità del punto ") è $4/9 * k$.
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | A)*P(A) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | B)*P(B) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | C)*P(C)$ =
$P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A)*P(\omega_1 = N | A)*P(A) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | B)*P(\omega_1 = N | B)*P(B) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | C)*P(\omega_1 = N | C)*P(C) =$
$ \frac{4}{9}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{5}{8} * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} + \frac{5}{9} * \frac{3}{5} * \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{5}{24} + \frac{1}{6} =\frac{35}{108} $ a meno di errori di calcolo...
Per il secondo:
$P(A | \omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) * P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = $
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = k$ è già stata calcolata al punto precedente, resta da calcolare:
$P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) = P((\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)|A)/(P(A)) = $
$ = 2*P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A) * P(\omega_1 = N | A) = 2 * 4/9 * 1/2 = 4/9$.
Dunque la probabilità del punto ") è $4/9 * k$.
Penso che estrai due palline da una scatola a caso.
La probabilità che entrambe siano nere è data dalla probabilità che le estrai nere dalla 1a, dalla 2a o dalla 3a :
$1/2*4/9+2/3*5/8+3/5*5/9= 35/36 $
Per il secondo quesito devi usare semplicemente il teorema di Bayes ( risalire alla causa mediante l'effetto)
La probabilità che entrambe siano nere è data dalla probabilità che le estrai nere dalla 1a, dalla 2a o dalla 3a :
$1/2*4/9+2/3*5/8+3/5*5/9= 35/36 $
Per il secondo quesito devi usare semplicemente il teorema di Bayes ( risalire alla causa mediante l'effetto)
Probabilmente (tanto siamo in tema) ho sbagliato qualcosa al punto 1 perché la probabilità calcolata da spassky è tripla della mia...
spassky ma tu hai considerato il fatto che scegliere una scatola piuttosto che un'altra comporta una probabilità di $\frac{1}{3}$?
chiaritevi per favore 
(interessa anche me)
io ho ragionato così per il primo punto
$2/10*2/5*1/3+2/9*1/3*1/3+2/10*3/5*1/3$
(interessa anche me)io ho ragionato così per il primo punto
$2/10*2/5*1/3+2/9*1/3*1/3+2/10*3/5*1/3$
La scatola si intende scelta a caso, quindi applicherei il teorema delle probabilità totali sulle variabili ipergeometriche. Per la seconda richiesta applica Bayes
Beh ... mettiamola così:
P(Tipper ha ragione) = 1 - P(spassky ha ragione)
P(scegliere l'alternativa giusta) =
= P(scegliere Tipper $\cap$ Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky $\cap$ spassky ha ragione) =
= P(scegliere Tipper | Tipper ha ragione)/P(Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky | spassky ha ragione)/P(spassky ha ragione)
Direi che così non fa una piega ...
P(Tipper ha ragione) = 1 - P(spassky ha ragione)
P(scegliere l'alternativa giusta) =
= P(scegliere Tipper $\cap$ Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky $\cap$ spassky ha ragione) =
= P(scegliere Tipper | Tipper ha ragione)/P(Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky | spassky ha ragione)/P(spassky ha ragione)
Direi che così non fa una piega ...
Sinceramente il dubbio mi è venuto di dover mettere la probabilità di 1/3 per la scelta delle scatole (supposta uniforme).
Ma per un qualche motivo non l'ho considerato..
E forse ho fatto male...
Carina questa della risposta mia come complemento a 1 della tua....
Ma per un qualche motivo non l'ho considerato..
E forse ho fatto male...
Carina questa della risposta mia come complemento a 1 della tua....
Anche perché ripensandoci $\frac{35}{36} \approx 0.97$ è una probabilità un po' troppo alta, significherebbe pescare quasi sempre due palline nere.
Non sono un esperto di probabilita' pero' provo a dare una mia interpretazione:
Il testo dice:
Consideriamo 3 scatole:
la prima contiene 5 palline rosse e 5 nere;
la seconda 3 rosse e 6 nere;
la terza 4 rosse e 6 nere;
Mio commento:
Pero' non abbiamo la possibilita' di conoscere il contenuto di ogni singola scatola. Sappiamo solo che abbiamo tre scatole con quel contenuto.
Il testo continua:
Si estraggono due palline da una scatola.
Mio commento:
Si sceglie una sola delle tre scatole.
Il testo continua:
Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere.
Mio commento:
Credo occorre calcolare la media delle tre probabilita' di estrarre due palline nere da ogni scatola.
Calcolo:
$p1 = 10/45 = 0.22$
$p2 = 15/36 = 0.42$
$p3 = 15/45 = 0.33$
$p = (p1 + p2 + p3) / 3 = 0.32$
Il testo continua:
Se le palline estratte sono nere, qual è la probabilità che siano state estratte dalla prima scatola?
Mio commento:
Credo che sia la probabilita' con cui abbiamo scelto la prima scatola ed estratto due palline nere da essa.
$p = 0.32 * 10 / 35 = 0.09$
A presto,
Eugenio
Il testo dice:
Consideriamo 3 scatole:
la prima contiene 5 palline rosse e 5 nere;
la seconda 3 rosse e 6 nere;
la terza 4 rosse e 6 nere;
Mio commento:
Pero' non abbiamo la possibilita' di conoscere il contenuto di ogni singola scatola. Sappiamo solo che abbiamo tre scatole con quel contenuto.
Il testo continua:
Si estraggono due palline da una scatola.
Mio commento:
Si sceglie una sola delle tre scatole.
Il testo continua:
Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere.
Mio commento:
Credo occorre calcolare la media delle tre probabilita' di estrarre due palline nere da ogni scatola.
Calcolo:
$p1 = 10/45 = 0.22$
$p2 = 15/36 = 0.42$
$p3 = 15/45 = 0.33$
$p = (p1 + p2 + p3) / 3 = 0.32$
Il testo continua:
Se le palline estratte sono nere, qual è la probabilità che siano state estratte dalla prima scatola?
Mio commento:
Credo che sia la probabilita' con cui abbiamo scelto la prima scatola ed estratto due palline nere da essa.
$p = 0.32 * 10 / 35 = 0.09$
A presto,
Eugenio
Il problema è: si sceglie a caso una delle tre scatole e da quella si estraggono due palline.
L'interpretazione formalmetne corretta è quella data da Luca Barletta.
Per il primo punto anche la soluzione di Eugenio è corretta.
$P(X=nera)=1/3*(((5),(2)))/(((10),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((9),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((10),(2)))=35/108$
No, è sbagliato.
Applicando Bayes, si calcola come la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola fratto la probabilità di estrarre due palline nere.
Quindi $1/3*(((5),(2)))/(((10),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((9),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((10),(2)))=(2/27)/(35/108)=8/35$
Edit: Corrette formule
L'interpretazione formalmetne corretta è quella data da Luca Barletta.
Per il primo punto anche la soluzione di Eugenio è corretta.
$P(X=nera)=1/3*(((5),(2)))/(((10),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((9),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((10),(2)))=35/108$
Il testo continua:
Se le palline estratte sono nere, qual è la probabilità che siano state estratte dalla prima scatola?
Mio commento:
Credo che sia la probabilita' con cui abbiamo scelto la prima scatola ed estratto due palline nere da essa.
$p = 0.32 * 10 / 35 = 0.09$
No, è sbagliato.
Applicando Bayes, si calcola come la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola fratto la probabilità di estrarre due palline nere.
Quindi $1/3*(((5),(2)))/(((10),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((9),(2)))+1/3*(((6),(2)))/(((10),(2)))=(2/27)/(35/108)=8/35$
Edit: Corrette formule
Non conosco Bayes ma come ragionamento fila meglio. Infatti, non e' una probabilita' finale, ma gia' e' assodato che le due palline estratte sono nere.
A presto e grazie,
Eugenio
A presto e grazie,
Eugenio
"cheguevilla":
Applicando Bayes, si calcola come la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola fratto la probabilità di estrarre due palline nere.
scusa ma il calcolo era un pò "poco ordinato a vedersi"
la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola è $35/108 *1/3$?
quale è la probabilità di estrarre 2 palline nere?
p.s. seconda cosa, ma la questi valori derivanti dal numero di palline nere nelle rispettive scatole non servono a nulla?
5/10 nella prima 6/9 nella seconda e 6/10 nella terza che rappresentano il numero di palline nere rispetto al num tot di palline nelle scatole
p.p.s.
vedi se dobbiamo perdere tempo con le palline colorate
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"Bandit":
[quote="cheguevilla"]
Applicando Bayes, si calcola come la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola fratto la probabilità di estrarre due palline nere.
scusa ma il calcolo era un pò "poco ordinato a vedersi"
la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola è $35/108 *1/3$?
quale è la probabilità di estrarre 2 palline?
p.s. seconda cosa, ma la questi valori derivanti dal numero di palline nere nelle rispettive scatole non servono a nulla?
5/10 nella prima 6/9 nella seconda e 6/10 nella terza che rappresentano il numero di palline nere rispetto al num tot di palline nelle scatole
p.p.s.
vedi se dobbiamo perdere tempo con le palline colorate
[/quote]Il risultato dovrebbe essere 35/108, che deriva da 35/36 ( calcolato come fatto da più persone sopra) e diviso per 3. Totale 35/108.
Nemmeno a me le palline piacciono.
Considero più istruttive le carte.
scusa ma il calcolo era un pò "poco ordinato a vedersi"
Dove?
Potrebbe esserci qualche formula visualizzata non bene, perchè non posso controllarle...
la probabilità di estrarre due palline nere dalla prima scatola è $35/108 *1/3$?
No. Probabilità di estrarre dalla prima scatola $(1/3)$ per probabilità di estrarre due nere sapendo di estrarre dalla prima scatola $(((5),(2)))/(((10),(2)))$.
quale è la probabilità di estrarre 2 palline nere?
A numeratore i casi favorevoli: $((5),(2))$
Cioè tutte le possibili estrazioni di due palline dal gruppo delle nere.
A denominatore i casi possibili: $((10),(2))$
Cioè tutte le possibil estrazioni di due palline dall'urna.
p.s. seconda cosa, ma la questi valori derivanti dal numero di palline nere nelle rispettive scatole non servono a nulla?
5/10 nella prima 6/9 nella seconda e 6/10 nella terza che rappresentano il numero di palline nere rispetto al num tot di palline nelle scatole
Contano solo se consideri l'estrazione di una pallina, dal momento in cui, estraendone una, questi valori vengono modificati in funzione della pallina estratta.
p.p.s.
vedi se dobbiamo perdere tempo con le palline colorate
Considero più istruttive le carte.
Le palline permettono maggiore flessibilità.
Ricordo di aver letto qualcosa del tipo che è possibile ricondurre qualsiasi esperimento aleatorio al caso dell'urna con le palline.
In effetti è il caso più semplice ma allo stesso tempo più personalizzabile.
Edit: Corrette formule
"cheguevilla":scusa ma il calcolo era un pò "poco ordinato a vedersi"
Dove?
scatola $((5),(2))/((10),(2))$.
[
questo per esempio è un calcolo poco chiaro...cmq mi riferivo al calcolo della mia quota, cioè quando applichi bayes
E quindi? Qual'è il calcolo più giusto?
E quindi? Qual'è il calcolo più giusto?
I calcoli che ho fatto sono giusti.
@bandit: levami una curiosità: hai mathplayer installato? Riesci a visualizzare le formule?
Grazie infinite!
"cheguevilla":E quindi? Qual'è il calcolo più giusto?
I calcoli che ho fatto sono giusti.
@bandit: levami una curiosità: hai mathplayer installato? Riesci a visualizzare le formule?
no non l'ho mai sentito....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo