Probabilità
Una pulce disorientata salta da un vertice ad un altro nel triangolo ABC: quando è in un vertice, salta con uguale probabilità in uno degli altri due. Supponendo che la pulce parta dal vertice A, qual'è la probabilità che essa si trovi in A dopo 100 salti?
Risposte
io ho trovato la seguente probabilità
$2/(3*2^(100))+1/3$
$2/(3*2^(100))+1/3$
"Piera":
io ho trovato la seguente probabilità
$2/(3*2^(100))+1/3$
Bel problema!
Confermo il risultato di Piera.
In generale, per n salti, la probabilità è:
$P(n)=1/3[1+2*(-1/2)^n]$
La probabilità, per n molto grande, tende a 1/3.
Potresti spiegare il ragionamento?
Io l'ho risolto così.
Indichiamo con P(n) la probabilità che la punce si trovi in A dopo l'ennesimo salto. Affinchè si verifichi questo evento la pulce, dopo n - 1 salti, deve trovarsi in B o C e non in A. La probabilità che ciò avvenga è data da:
$1-P(n-1)$
Se si verifica tale evento (pulce in B o C dopo n - 1 salti) la probabilità di saltare in A è 1/2 per cui possiamo scrivere la seguente equazione alle differenze di primo ordine:
$P(n)=1/2[1-P(n-1)]$
Risolvendola, con la condizione iniziale P(1) = 0, si trova il risultato da me indicato.
Indichiamo con P(n) la probabilità che la punce si trovi in A dopo l'ennesimo salto. Affinchè si verifichi questo evento la pulce, dopo n - 1 salti, deve trovarsi in B o C e non in A. La probabilità che ciò avvenga è data da:
$1-P(n-1)$
Se si verifica tale evento (pulce in B o C dopo n - 1 salti) la probabilità di saltare in A è 1/2 per cui possiamo scrivere la seguente equazione alle differenze di primo ordine:
$P(n)=1/2[1-P(n-1)]$
Risolvendola, con la condizione iniziale P(1) = 0, si trova il risultato da me indicato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo