Probabilità

[luna921]

non sono riuscito a svolgere questo esercizio di probabilità:
"Un gruppo di studenti sostiene un test scritto per il superamento di un esame. Per ogni domanda, (in particolare, per la prima) è possibile rispondere in modo corretto (T) o non corretto (T'). La probabilità di superare l'intero test (S) rispondendo in modo corretto alla prima domanda del test è del 70%; la probabilità di superare l'intero test (S) rispondendo in modo non corretto alla prima domanda del test è del 10%. La probabilità di superare il test per tutti gli studenti è del 45%. Calcolare:
a) la probabilità di rispondere in modo corretto alla prima domanda del test
b)la probabilità di rispondere in modo corretto alla prima domanda del test, sapendo che lo studente ha superato il test
c)la probabilità di rispondere in modo non corretto alla prima domanda del test, sapendo che lo studente non ha superato il test"

(probabilità condizionata.....teorema di bayes... legge dell'alternativa)
mi potete spiegare e farmi vedere come si fa se volete... vi prego... grazie mille

[superpippone]

Per la prima domanda basta impostare una semplice equazione:

$0,7T+0,1*(1-T)=0,45$
$0,7T+0,1-0,1T=0,45$
$0,6T=0,35$
$T=0,58333333333$

[superpippone]

Per la seconda:

$(0,583333*0,7)/(0,583333*0,7+0,416667*0,1)$

$(0,483333)/(0,483333+0,041667)$

$(0,483333)/(0,525)=0,920634$

Per la terza, cerca di concentrarti un po'.......


C'era un errore di calcolo.
Metto la soluzione corretta

$(0,583333*0,7)/(0,583333*0,7+0,416667*0,1)$

$(0,408333)/(0,408333+0,041667)$

$(0,408333)/(0,45)=0,9074$

E il denominatore non poteva che essere$0,45$, visto che già nel testo del problema sta scritto che la possibilità di superare l'esame è del $45%$......

Ringrazio per la segnalazione Tommik, e mi scuso con luna92:

[bassi0902]

Per risolvere questo esercizio ti serve sostanzialmente sapere la regola di Bayes per gli eventi:

$$ P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | B') P(B') $$

Nel tuo caso disponi dei seguenti dati, $P(S | T) = 0.7 \ , P(S | T') = 0.1 \ , P(S) = 0.45 $.

Il punto 1) richiede di trovare $P(T)$, a questo punto riscrivo la formula sopra applicata al nostro caso:

$$P(S | T)P(T) + P(S | T´)P(T´) = P(S) $$,

sostituendo i valori che hai gia' puoi determinare $P(T)$, ricordandoti che $P(T') = 1 - P(T)$ puoi ricondurti a una equazione nella sola incognita $P(T)$.

Per il punto 2) e 3) ti lascio ragionare... alla fine il ragionamento e' analogo. Se hai problemi puoi chiedere ancora.

[luna921]

ho fatto cosi:
la prima domanda
P(T)= 0.58333
la seconda domanda
P(T|S)= P(S|T)P(T) / P(S)= 0,90
la terza domanda
non ho ancora capito...
mi potete spiegare e farmi vedere come si fa se volete

[superpippone]

La seconda risposta non è $0,90$ ma $0,91$.....

La terza è simile alla seconda.
Applicati con un po' di convinzione......

[luna921]

sto cercando di capire.....
allora....
P(T'| S' )= P(S' | T') P(T' ) / P(S')

P(S')= 1- P(S)=1-0,45= 0,55
P(T' )= 1- P(T)= 1-0,583333= 0,41667
P( S' |T' )= 1- P( S|T)= 1- 0,70= 0,30
allora:
P(T'| S' )= P(S' | T') P(T' ) / P(S')= 0,227
va bene?

[superpippone]

Caspiterina!!!!!
Mi incasino sempre.
Non riesco a scriverlo correttamente.
Speriamo sia la volta buona......

$(0,416667*0,9)/(0,416667*0,9+0,583333*0,3)$

$(0,375)/(0,375+0,175)$

$(0,375)/(0,55)=15/22=0,6818$

Certo che si poteva fare anche più semplicemente.....

E' ovvio che se la probabilità di superare l'esame è del $45%$, quella di non superarlo è del $55%$, e pertanto il denominatore non poteva essere che $0,55$.....