Probabilità

[dem1509]

Ciao! Ho questo esercizio ce non so come risolvere...potreste aiutarmi?
Nel raccontare un certo evento E, Sara dice la verità nel 70% dei casi se questo si verifica. Veronica invece nell'80% dei casi. Entrambe dicono la verità nel 90% dei casi quando l'evento non si verifica. Un giorno, indipendentemente prima Sara e poi Veronica riferiscono a Riccardo che si e verificato un certo evento E. Riccardo sa che quell'evento si verifica una volta su 10.
a) Dopo aver parlato con Sara, come si modifica l'aspettativa di Riccardo che quel giorno l'evento E sia accaduto?
b) e dopo aver parlato anche con Veronica ?

Ho considerato i seguenti eventi:
E =(evento si verifica)
S = (sara dice la verità)
V = (veronica dice la verità)

P(E) = 0,1
P(S|E)=0.7
P(V|E)=0.8
P(S e V|E^c)=0.9

a) P(E|S)=? come procedo? Non posso utilizzare Bayes perché non conosco P(S|E^c)

[nino_12]

Forse

a) $ P(E|S)= (0,7*0,1)/(0,7*0,1 + 0,1*0,9) = 0,4375 $

b) $ P(E|V)= (0,8*0,1)/(0,8*0,1 + 0,1*0,9) = 0,4706 $

$ P(E|R)= 0,4375 + 0,4706 - 0,4375*0,4706 = 0,702 $

[dem1509]

"nino_":Forse

a) $ P(E|S)= (0,7*0,1)/(0,7*0,1 + 0,1*0,9) = 0,4375 $

b) $ P(E|V)= (0,8*0,1)/(0,8*0,1 + 0,1*0,9) = 0,4706 $

$ P(E|R)= 0,4375 + 0,4706 - 0,4375*0,4706 = 0,702 $

Grazie della risposta...potrei sapere quali teoremi e formule hai usato?
Avete altri suggerimenti?

[nino_12]

"Sergio":
Qui il punto fondamentale mi sembra che Riccardo parla con Veronica dopo aver parlato con Sara e, dopo aver parlato con Sara, per lui \(P(E)\) non è più \(0.1\), ma \(0.4375\). Più tecnicamente, prima di parlare con Sara le probabilità a priori di Riccardo erano \(P(E)=0.1\) e \(P(E^c)=0.9\), dopo aver parlato con Sara le probabilità a priori diventano \(P(E)=0.4375\) e \(P(E^c)=0.5625\). Quindi:
\(P(E\mid V)=\frac{P(V\mid E)P(E)}{P(V\mid E)P(E)+P(V\mid E^c)P(E^c)}=\frac{0.8\cdot 0.4375}{0.8\cdot 0.4375+0.1 \cdot 0.5625}\approx 0.86\).

Ero indeciso, e senz'altro hai ragione.

Però, con questa interpretazione, Riccardo avrebbe ottenuto un'informazione più attendibile se avesse chiesto prima a Veronica (e dopo a Sara).
E ritenere, sbagliando, che il risultato della probabilità non potesse dipendere da questo, mi aveva tratto in inganno.

[nino_12]

"Sergio":
Non capisco. Calcolerei così:
1. Probabilità a priori: \(P(E)=0.1,P(E^c)=0.9\);
2. \(P(E\mid V)=\frac{P(V\mid E)P(E)}{P(V\mid E)P(E)+P(V\mid E^c)P(E^c)}=\frac{0.8\cdot 0.1}{0.8\cdot 0.1+0.1\cdot 0.9}\approx 0.47059\);
3. Probabilità a priori: \(P(E)=0.47059,P(E^c)\approx 0.52941\);
4. \(P(E\mid S)=\frac{P(S\mid E)P(E)}{P(S\mid E)P(E)+P(S\mid E^c)P(E^c)}=\frac{0.7\cdot 0.47059}{0.7\cdot 0.47059+0.1\cdot 0.52941}\approx 0.86\);
come quando Riccardo chiede prima a Sara. Senza gli arrotondamenti, i risultati sono identici.
Vedi un errore nel calcolo?

No, l'errore (di calcolo) è mio.
Mi scuso di nuovo e confermo che l'esercizio era molto bello.

[dem1509]

"Sergio":
a) l'evento S deve essere "Sara dice che l'evento si è verificato";
b) "Entrambe dicono la verità nel 90% dei casi quando l'evento non si verifica" non vuol dire \(P(S,V\mid E^c)=0.9\), ma \(P(S\mid E^c)=P(V\mid E^c)=0.1\), cioè se l'evento non si verifica sia Sara che Veronica dicono che si è verificato con probabilità \(0.1\).

Grazie mille della risposta! Purtroppo spesso sbaglio nel definire gli eventi e così l'esercizio diventa impossibile