Previsione modelli
Supponiamo di conoscere media e varianza di un certo modello e di conoscere $X_{1},..,X_{n}$ dati. Voglio fare una previsione su $X_{n+1}$.
Domanda: perchè il valore atteso condizionato (cioè $X^{^}_{n+1}=E(X_{n+1}|X_{1},...,X_{n})$) è quello che minimizza l'errore quadratico medio e quindi quello che mi interessa??
Domanda: perchè il valore atteso condizionato (cioè $X^{^}_{n+1}=E(X_{n+1}|X_{1},...,X_{n})$) è quello che minimizza l'errore quadratico medio e quindi quello che mi interessa??
Risposte
Supponiamo che il set informativo $I_{t}$ arrivi fino al tempo $t$. Se hai processi ARMA, supponiamo anche che siano stazionari ed invertibili.
Sia $\hat{x}_{t+1}=\psi(I_{t})$ un qualsiasi previsore della serie storica al tempo $t+1$. Prendendo come funzione perdità l'errore quadratico medio, quello che si fa è minimizzare rispetto a $\psi(I_{t})$ la quantità
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]$
Il minimo si ha per $\psi(I_{t})=E(x_{t+1}|I_{t})$. Per dimostrarlo aggiungi e sottrai, all'interno della parentesi del quadrato, la quantità $E(x_{t+1}|I_{t})$ per cui
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]=E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))^2]+E[(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))^2]+2E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))*(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))]$
Ora l'ultima quantità vale 0 (la dimostrazione non è difficile, se vuoi te la posto), per cui
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]=E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))^2]+E[(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))^2]$
Ora il primo termine non dipende da $\psi({I_{t})$, dunque il minimo si ha proprio per
$\psi(I_{t})=E(x_{t+1}|I_{t})$.
in quando il secondo termine è non negativo.
Se hai dubbi fai sapere.
Ciao
Sia $\hat{x}_{t+1}=\psi(I_{t})$ un qualsiasi previsore della serie storica al tempo $t+1$. Prendendo come funzione perdità l'errore quadratico medio, quello che si fa è minimizzare rispetto a $\psi(I_{t})$ la quantità
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]$
Il minimo si ha per $\psi(I_{t})=E(x_{t+1}|I_{t})$. Per dimostrarlo aggiungi e sottrai, all'interno della parentesi del quadrato, la quantità $E(x_{t+1}|I_{t})$ per cui
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]=E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))^2]+E[(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))^2]+2E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))*(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))]$
Ora l'ultima quantità vale 0 (la dimostrazione non è difficile, se vuoi te la posto), per cui
$E[(x_{t+1}-\psi(I_{t}))^2]=E[(x_{t+1}-E(x_{t+1}|I_{t}))^2]+E[(E(x_{t+1}|I_{t})-\psi(I_{t}))^2]$
Ora il primo termine non dipende da $\psi({I_{t})$, dunque il minimo si ha proprio per
$\psi(I_{t})=E(x_{t+1}|I_{t})$.
in quando il secondo termine è non negativo.
Se hai dubbi fai sapere.
Ciao
Esaustivo come sempre!!! Ne sai un secchio di ste robe 
hai fatto qualche lavoro a proposito?
hai fatto qualche lavoro a proposito?
Diciamo che l'econometria mi appassiona molto, soprattutto la parte applicativa. Ci ho fatto parecchi lavori sugli ARIMA e non solo (modelli VAR, VECM, test a radice unitaria e di cointegrazione). Ora mi sto appassionando sui modelli non lineari (Reti Neurali nello specifico.)
Comunque la parte sulle previsioni e la scelta del previsore ottimale è fatta molto bene nell'Hamilton. Selle applicazioni degli ARIMA all'inizio ti consiglio il libro di Di Fonzo, ecceziunale veramente!
Per qualsiasi altro dubbio non esitare.
Ciao
Comunque la parte sulle previsioni e la scelta del previsore ottimale è fatta molto bene nell'Hamilton. Selle applicazioni degli ARIMA all'inizio ti consiglio il libro di Di Fonzo, ecceziunale veramente!
Per qualsiasi altro dubbio non esitare.
Ciao
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