Previsione del quadrato di un numero aleatorio
Arisalve a tutti! Questa volta non ho alcun esercizio..volevo semplicemente sapere come si fa a calcolare la previsione del quadrato di un umero aleatorio..
Per esempio se io ho una distribuzione esponenziale con $\lambda$=$1/4$ come posso procedere per calcolare $|P(X^2)$?
Io parto dalla definizione di Previsione che sarebbe:
$\int_0^inftyxf(x)dx$
Ma come tengo conto dell' elevamento a potenza??
Per esempio se io ho una distribuzione esponenziale con $\lambda$=$1/4$ come posso procedere per calcolare $|P(X^2)$?
Io parto dalla definizione di Previsione che sarebbe:
$\int_0^inftyxf(x)dx$
Ma come tengo conto dell' elevamento a potenza??
Risposte
"SenzaCera":
Arisalve a tutti! Questa volta non ho alcun esercizio..volevo semplicemente sapere come si fa a calcolare la previsione del quadrato di un umero aleatorio..
Per esempio se io ho una distribuzione esponenziale con $\lambda$=$1/4$ come posso procedere per calcolare $|P(X^2)$?
Io parto dalla definizione di Previsione che sarebbe:
$\int_0^inftyxf(x)dx$
Ma come tengo conto dell' elevamento a potenza??
$E[g(x)]=int_0^(+oo)g(x)f(x) dx$ dove con $f(x)$ indico la densità di probabilità....
Considerando la trasformazione $z=x^2$, si ha che $ x=\pm\sqrt(z) $. Quindi a ciascun valore di $x$ corrisponde uno e un solo valore di $z$, ma per ogni valore di $z != 0$ ce ne sono due di $x$.
Tuttavia, poichè la distribuzione esponenziale è definita per valori di $x>0$, si considera l'integrale $ E(Z)=\int_{0}^{+\infty} \sqrt(t)*1/4e^(-1/4t)dt $, ricordando che $ Z=X^2 $
Tuttavia, poichè la distribuzione esponenziale è definita per valori di $x>0$, si considera l'integrale $ E(Z)=\int_{0}^{+\infty} \sqrt(t)*1/4e^(-1/4t)dt $, ricordando che $ Z=X^2 $
"Aliseo":
Considerando la trasformazione $z=x^2$, si ha che $ x=\pm\sqrt(z) $. Quindi a ciascun valore di $x$ corrisponde uno e un solo valore di $z$, ma per ogni valore di $z != 0$ ce ne sono due di $x$.
Tuttavia, poichè la distribuzione esponenziale è definita per valori di $x>0$, si considera l'integrale $ E(Z)=\int_{0}^{+\infty} \sqrt(t)*1/4e^(-1/4t)dt $, ricordando che $ Z=X^2 $
Perchè, se $Z=X^2$ e $E[Z]=E[X^2]$ allora $E[Z]=int_0^(+oo)sqrt(x)1/4*e^(-1/4*x) dx$ ?
Perché $Z=X^2$ è una trasformazione parabolica, quindi non bigettiva! Se consideri questa trasformazione hai sull'asse delle ascisse le $x$ e sull'asse delle ordinate le $z$. Ora, però, poiché la distribuzione esponenziale è definita solo per valori positivi di $x$ prendo in considerazione solo quel ramo di parabola definita per $x>0$, quindi $x=\sqrt(z)$ (almeno io ragiono così, però se sbaglio ben volentieri accetto chiarimenti 
- come sempre non si finisce mai di imparare!)
- come sempre non si finisce mai di imparare!)
ma quindi la densità non viene toccata è solo il fattore moltiplicativo " $x$ " che viene modificato con questa opportuna trasformazione?
"Aliseo":
Perché $Z=X^2$ è una trasformazione parabolica, quindi non bigettiva! Se consideri questa trasformazione hai sull'asse delle ascisse le $x$ e sull'asse delle ordinate le $z$. Ora, però, poiché la distribuzione esponenziale è definita solo per valori positivi di $x$ prendo in considerazione solo quel ramo di parabola definita per $x>0$, quindi $x=\sqrt(z)$ (almeno io ragiono così, però se sbaglio ben volentieri accetto chiarimenti
Scusa non capisco proprio....toglimi una curiosità.
Consideriamo la V.A. discreta con la seguente distribuzione di probabilità:
$P(X=a)={(1/3 \text{ per } X=1), (1/3 \text{ per } X=2), (1/3 \text{ per } X=3):}$.
Quale sarebbe il Valore Atteso di $Z$ , cioè $E[Z]$ con $Z=X^2$?
Grazie mille ciao!!!
"clrscr":
[quote="Aliseo"]Perché $Z=X^2$ è una trasformazione parabolica, quindi non bigettiva! Se consideri questa trasformazione hai sull'asse delle ascisse le $x$ e sull'asse delle ordinate le $z$. Ora, però, poiché la distribuzione esponenziale è definita solo per valori positivi di $x$ prendo in considerazione solo quel ramo di parabola definita per $x>0$, quindi $x=\sqrt(z)$ (almeno io ragiono così, però se sbaglio ben volentieri accetto chiarimenti
Scusa non capisco proprio....toglimi una curiosità.
Consideriamo la V.A. discreta con la seguente distribuzione di probabilità:
$P(X=a)={(1/3 \text{ per } X=1), (1/3 \text{ per } X=2), (1/3 \text{ per } X=3):}$.
Quale sarebbe il Valore Atteso di $Z$ , cioè $E[Z]$ con $Z=X^2$?
Grazie mille ciao!!![/quote]
Sinceramente io non riesco neanche a fare la previsione del numero aleatorio..perchè per il discreto io sapevo che la prvisione era
$|P(X)= x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3$ ma $x_1$ come gli altri non li sai oppure sono incompatibili gli eventi?
Pardon, ho sbagliato a scrivere la speranza della v.a. $Z$, perché è
E(Z)=$ \int_{0}^{+\infty} t*1/4e^(-1/4\sqrt(t))*(1/(2\sqrt(t)))dt $, che poi alla fine equivale dire a quello che hai scritto tu @clrscr, l'ho solo espresso in un'altra maniera!
E(Z)=$ \int_{0}^{+\infty} t*1/4e^(-1/4\sqrt(t))*(1/(2\sqrt(t)))dt $, che poi alla fine equivale dire a quello che hai scritto tu @clrscr, l'ho solo espresso in un'altra maniera!
oddio ho le idee più confuse di prima 
.. Senti quando hai un attimo di tempo senza fretta davvero non è che potresti postare qualche passaggio per arrivare a quell' integrale lì???
Scusa ancora il disturbo!
.. Senti quando hai un attimo di tempo senza fretta davvero non è che potresti postare qualche passaggio per arrivare a quell' integrale lì??? Scusa ancora il disturbo!
Allora, sia $X$ una v.a. con densità $ f_{X}(x)>0 $ (quindi $X$ è una v.a. continua) solo su intervallo $ (a,b) $ - l'intervallo può essere anche non limitato - e sia $z=g(x)$ una funzione che effettua una trasformazione sulla v.a. di origine. Si supponga che la funzione $g(x)=z$ sia derivabile per ogni $x in (a,b)$, con $g'(x)>0$ per ogni $x in (a,b)$ oppure $ g'(x)<0$ per ogni $x in (a,b)$. Allora la v.a. $Z=g(X)$ ha densità pari a
$f_{Z}(z)= { (f_{X}(g^{-1}(z))|(dg^{-1}(z))/(dz) |, if \alpha < z < \beta), (0, text{altrimenti}) :} $
dove $ \alpha=min(g(a), g(b)) $, $ \beta=max(g(a), g(b)) $ ok?
Ora nel nostro caso abbia una v.a. $X$ che ha funzione di densità di tipo esponenziale
$ f_X(x)={ (\lambda*e^{-lambdax}, if x >0), (0, text{altrimenti}) :} $, con $ \lambda >0 $
Considerando quanto detto prima, hai che
a) $ (a,b) = (0, +\infty)$, cioè $ a=0$, $ b=+\infty$.
b) la trasformazione che hai è $ z=x^2 $, cioè hai una trasformazione quadratica. Quindi $g^{-1}(z)=\pm\sqrt(z)=x$ e, poichè la funzione di densità esponenziale è definita solo per valori di $x>0$ hai che consideri $g^{-1}(z)=+\sqrt(z)$
c) $g(a)=g(0)=0$ e $ g(b)=g(\infty)=\infty $. Quindi $\alpha=0, \beta=+\infty$
Allora
$ f_{Z}(z)= { (\lambda*e^(-\lambda\sqrt(z))*1/(2\sqrt(z)), if 0 < z < +\infty), (0, text{altrimenti}) :} $
La speranza di $Z$, pertanto, diventa
$E(Z)=\int_{0}^{+\infty} t * \lambda*e^(-\lambda\sqrt(t))*(1/(2\sqrt(t)))dt$, con $ \lambda=1/4 $ ok? E se non ho fatto male i calcoli dovrebbe venire $32$
$f_{Z}(z)= { (f_{X}(g^{-1}(z))|(dg^{-1}(z))/(dz) |, if \alpha < z < \beta), (0, text{altrimenti}) :} $
dove $ \alpha=min(g(a), g(b)) $, $ \beta=max(g(a), g(b)) $ ok?
Ora nel nostro caso abbia una v.a. $X$ che ha funzione di densità di tipo esponenziale
$ f_X(x)={ (\lambda*e^{-lambdax}, if x >0), (0, text{altrimenti}) :} $, con $ \lambda >0 $
Considerando quanto detto prima, hai che
a) $ (a,b) = (0, +\infty)$, cioè $ a=0$, $ b=+\infty$.
b) la trasformazione che hai è $ z=x^2 $, cioè hai una trasformazione quadratica. Quindi $g^{-1}(z)=\pm\sqrt(z)=x$ e, poichè la funzione di densità esponenziale è definita solo per valori di $x>0$ hai che consideri $g^{-1}(z)=+\sqrt(z)$
c) $g(a)=g(0)=0$ e $ g(b)=g(\infty)=\infty $. Quindi $\alpha=0, \beta=+\infty$
Allora
$ f_{Z}(z)= { (\lambda*e^(-\lambda\sqrt(z))*1/(2\sqrt(z)), if 0 < z < +\infty), (0, text{altrimenti}) :} $
La speranza di $Z$, pertanto, diventa
$E(Z)=\int_{0}^{+\infty} t * \lambda*e^(-\lambda\sqrt(t))*(1/(2\sqrt(t)))dt$, con $ \lambda=1/4 $ ok? E se non ho fatto male i calcoli dovrebbe venire $32$
Vorrei farti notare che $ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_{X}(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}zf_{Z}(z)dz=E(Z) $. Nel nostro caso, poiché $x>0$, cioè $g^{-1}(z)=+\sqrt(z)$ si considera l'intervallo $(0, +\infty)$ cioè
$ E(X)=\int_{0}^{+\infty}g(x)f_{X}(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x^2*(1/4)e^{-1/4x}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}zf_{Z}(z)dz=\int_{0}^{+\infty}z*(1/4)*e^{-1/4\sqrt(z)}*(1/(2\sqrt(z)))dz=E(Z) $ ok?
$ E(X)=\int_{0}^{+\infty}g(x)f_{X}(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x^2*(1/4)e^{-1/4x}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}zf_{Z}(z)dz=\int_{0}^{+\infty}z*(1/4)*e^{-1/4\sqrt(z)}*(1/(2\sqrt(z)))dz=E(Z) $ ok?
Ecco appunto..io infatti ero partito dalla tua ultima considerazione tuttavia riprovando a fare l' integrale mi sono accorto che era sbagliato perciò il risultato non mi veniva giusto..oa viene anche a me 32 che è il risultato giusto!!!
Ma quindi il dubbio mio rimane il seguente: quando ci sono questo tipo di trasformazioni è solo il fattore moltiplicativo $x$ che cambia?? o devo sempre e comunque ragionare come hai fatto tu nel post precendente?
E poi per quanto riguarda l' esercizio fornito da clrscr come si dovrebbe fare??
T ringrazio molto per l' aiuto..e come sempre ti invito a prendere tutto il tempo che vuoi per rispondere..non ho alcuna fretta e so che ognuno ha i suoi impegni!!! Grazi ancora!
Ma quindi il dubbio mio rimane il seguente: quando ci sono questo tipo di trasformazioni è solo il fattore moltiplicativo $x$ che cambia?? o devo sempre e comunque ragionare come hai fatto tu nel post precendente?
E poi per quanto riguarda l' esercizio fornito da clrscr come si dovrebbe fare??
T ringrazio molto per l' aiuto..e come sempre ti invito a prendere tutto il tempo che vuoi per rispondere..non ho alcuna fretta e so che ognuno ha i suoi impegni!!! Grazi ancora!
"SenzaCera":
quando ci sono questo tipo di trasformazioni è solo il fattore moltiplicativo $x$ che cambia?? o devo sempre e comunque ragionare come hai fatto tu nel post precendente?
Non capisco cosa intendi! Non confondere il concetto di momento $k$-esimo di una v.a. con il concetto di trasformazione di una variabile. Nel senso, consideriamo sempre la tua densità iniziale ok? Allora hai che:
1) il momento di ordine $1$, cioè la speranza matematica di $X$ è $ E(X)=\int_{0}^{+\infty} x*\lambdae^{-\lambdax}dx $
2) il momento di ordine $2$ della v.a. $X$ è $ E(X^2)=\int_{0}^{+\infty} x^2*\lambdae^{-\lambdax}dx $. In questo caso, come espressione è uguale alla trasformazione che ti ho scritto nel post precedente, ma ha un significato diverso ok?
...
k) il momento di ordine $k$ della v.a. $X$ è $ E(X^k)=\int_{0}^{+\infty} x^{k}*\lambdae^{-\lambdax}dx $
Se, invece, operi su una trasformazione della v.a. $X$, cioè su una v.a. $Z=X^2$, hai che
1) il momento di ordine $1$, cioè la speranza matematica di $Z$ è $ E(Z)=\int_{0}^{+\infty} z*\lambdae^{-\lambda\sqrt(z)}*(1/(2\sqrt(z)))dz $
2) il momento di ordine $2$ della v.a. $X$ è $ E(Z^2)=\int_{0}^{+\infty} z^2*\lambdae^{-\lambda\sqrt(z)}*(1/(2\sqrt(z)))dz $.
...
k) il momento di ordine $k$ della v.a. $X$ è $ E(Z^k)=\int_{0}^{+\infty} z^k*\lambdae^{-\lambda\sqrt(z)}*(1/(2\sqrt(z)))dz $
ok?
In base a quanto ora ti ho detto, prova a svolgere l'esercizio di clrscr
Allora io partirei dalla definizione di previsione che nel caso discreto è:
$|P(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3$
Farei in generale il quadrato di questo e andrei a sostituire i valori che da il problema.
E' corretto?
Perchè non rientra in nessuna distribuzione da me studiata quello schema perciò l' unica cosa che mi viene da fare è quanto detto sopra.
$|P(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3$
Farei in generale il quadrato di questo e andrei a sostituire i valori che da il problema.
E' corretto?
Perchè non rientra in nessuna distribuzione da me studiata quello schema perciò l' unica cosa che mi viene da fare è quanto detto sopra.
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