Potenza del test
Salve, avrei bisogno che qualcuno mi aiutasse a risolvere questo problema:
Sia $X_1$,...,$X_25$ un campione normale di media $ mu $ incognita e varianza 4. Si consideri il problema di veri ca delle ipotesi $ H_0 : mu = - 2.3 $ contro $ H_1: mu != - 2.3 $. Determinare la funzione di potenza del test: "rifi uto $H_0$ se $ 5/2 $ $| \bar{X}_25 + 2.3 |$ > $ z_(\alpha/2) $ ". (Giusti cate adeguatamente la risposta).
Per determinare la potenza avrei calcolato Beta in questa maniera: (ho provato a scrivere la formula con i simboli LaTeX ma non ci sono riuscito... metto l'immagine, scusate)
$\beta(\mu) = \Phi(z_(\alpha/2) + {(\mu_0 - \mu)\sqrt(n)}/\sigma_0) - \Phi(- z_(\alpha/2) + {(\mu_0 - \mu)\sqrt(n)}/\sigma_0)$
E poi avrei fatto: 1 - $\beta$, per trovarmi la funzione di potenza del test.
Pero' in questo caso non capisco cosa dovrei sostituire a $ mu $ e $ mu_0 $...
Sbaglio l'approccio?
Sia $X_1$,...,$X_25$ un campione normale di media $ mu $ incognita e varianza 4. Si consideri il problema di veri ca delle ipotesi $ H_0 : mu = - 2.3 $ contro $ H_1: mu != - 2.3 $. Determinare la funzione di potenza del test: "rifi uto $H_0$ se $ 5/2 $ $| \bar{X}_25 + 2.3 |$ > $ z_(\alpha/2) $ ". (Giusti cate adeguatamente la risposta).
Per determinare la potenza avrei calcolato Beta in questa maniera: (ho provato a scrivere la formula con i simboli LaTeX ma non ci sono riuscito... metto l'immagine, scusate)
$\beta(\mu) = \Phi(z_(\alpha/2) + {(\mu_0 - \mu)\sqrt(n)}/\sigma_0) - \Phi(- z_(\alpha/2) + {(\mu_0 - \mu)\sqrt(n)}/\sigma_0)$
E poi avrei fatto: 1 - $\beta$, per trovarmi la funzione di potenza del test.
Pero' in questo caso non capisco cosa dovrei sostituire a $ mu $ e $ mu_0 $...
Sbaglio l'approccio?
Risposte
Fammi capire alcune cose del testo: il $5/2$ prima del valore assoluto è voluto ? perchè metti la z ? essa indica fisher e non è questo il caso dovendo usare gauss; il livello di significatività è a scelta libera ?
Ipotizzando che le risposte siano quelle che credo il problema andrebbe risolto calcolando l'intervallo di confidenza del valore assoluto $X - u$ ( X sarebbe medio ) ovviamente ricordandoti di usare $a/2$ e moltiplicando tutto per $5/2$ ottieni la regione di accettazione di Ho; trovare beta significa trovare la probabilità che H1 cada nella regione di rifiuto ( le due code che fanno da complemento alla regione di accettazione ) anche questa utilizzando la gaussiana.
Dovrebbe essere così, se non ti è chiaro chiedi pure
Ipotizzando che le risposte siano quelle che credo il problema andrebbe risolto calcolando l'intervallo di confidenza del valore assoluto $X - u$ ( X sarebbe medio ) ovviamente ricordandoti di usare $a/2$ e moltiplicando tutto per $5/2$ ottieni la regione di accettazione di Ho; trovare beta significa trovare la probabilità che H1 cada nella regione di rifiuto ( le due code che fanno da complemento alla regione di accettazione ) anche questa utilizzando la gaussiana.
Dovrebbe essere così, se non ti è chiaro chiedi pure
Ho riletto il testo ma ho qualche dubbio, appena torno a casa provo a svolgerlo e ti faccio sapere
Innanzitutto grazie per la risposta 
Il $ 5/2 $ prima del valore assoluto e' voluto, dato che la statistica da usare è questa:
. Il 5 è la radice del numero dei campioni (25) e il 2 è la deviazione standard (sapendo che la varianza è 4).
$ z $ indica la normale standard (ho sempre usato questa lettera per identificarla). Per la fisher uso F di solito.
$\alpha$ è compreso tra 0 e 1 (lo dice il testo).
Pensandoci un po' su, mi sa che dato che vuole la funzione (e non un risultato preciso) mi sa che devo scrivere $ \beta ( \mu ) $ lasciando incognito il $ \mu $ e l' $ \alpha $
Che dici?
Il $ 5/2 $ prima del valore assoluto e' voluto, dato che la statistica da usare è questa:
. Il 5 è la radice del numero dei campioni (25) e il 2 è la deviazione standard (sapendo che la varianza è 4).$ z $ indica la normale standard (ho sempre usato questa lettera per identificarla). Per la fisher uso F di solito.
$\alpha$ è compreso tra 0 e 1 (lo dice il testo).
Pensandoci un po' su, mi sa che dato che vuole la funzione (e non un risultato preciso) mi sa che devo scrivere $ \beta ( \mu ) $ lasciando incognito il $ \mu $ e l' $ \alpha $
Che dici?
si il problema è proprio la funzione potenza quindi lasciando incognito, ovvero mettere H1 nella zona di rigetto, che è ovviamente quella che comprende valori talmente estremi da avere probabilità inferiore ad $a/2$ nelle 2 code.
Giusto una piccola opinione personale per il futuro, la z si usa per indicare la gaussiana standard in corsi dove non hai altre V.A. come ad esempio per calcolare le scorte di magazzino in logistica ( ne cito uno tanto per ), ma non in probabilità e statistica in quanto con z si intende la variabile di fisher e il fraintendimento è facile, in ps la gaussiana standard si indica con u; non è un errore è solo che secondo me si favorisce meglio la comprensione al resto del forum
Giusto una piccola opinione personale per il futuro, la z si usa per indicare la gaussiana standard in corsi dove non hai altre V.A. come ad esempio per calcolare le scorte di magazzino in logistica ( ne cito uno tanto per ), ma non in probabilità e statistica in quanto con z si intende la variabile di fisher e il fraintendimento è facile, in ps la gaussiana standard si indica con u; non è un errore è solo che secondo me si favorisce meglio la comprensione al resto del forum
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