Porte, capre e ruota
Tratto da "Trix Solier. L'apprendista mago" (alcune modifiche ed enfasi mie)
«Vi mostrerò il mio gioco preferito» disse il barone.
«Dietro due di quelle porte troverete una capra. Dietro la terza, invece, una ruota.
Voi dovrete indicare una porta. Se dietro di essa vi troverete una capra, dovrete trattenervi qui per un anno e prestarmi i vostri servigi. Se invece doveste riuscire a trovare la ruota... vi metterò a disposizione la mia carrozza d'oro personale, insieme alle guardie, al cuoco e a un bel po' di provviste»
«Propongo di variare leggermente le condizioni» rispose il ragazzo.
«Per dieci... anzi, nove volte, per escludere sin dal principio la possibilità di una patta.
Se mi dovesse capitare cinque volte la capra, allora ci metteremo al vostro servizio per un anno intero.
Ma se dovessi trovare piu volte la ruota, allora la carrozza sarà nostra!
Ogni volta che sceglierò una porta, me ne rimarranno altre due, vero?»
«Certo» disse il barone
«Sarebbe possibile aprire una delle porte restanti? In particolare quella che nasconde la capra?
A quel punto potrei rifletterci un po' ed eventualmente modificare la mia scelta»
«Non saprei...» rispose il barone.
«Qui gatta ci cova... certo che sei proprio un furbacchione! Se dovessi poter scegliere solo una delle tre porte, avresti una possibilità su tre. Se invece io decidessi di aprire una delle porte che nascondono le capre, avresti una possibilità su due. E a quel punto le probabilità di vincere sarebbero le stesse per entrambi.
A quanto pare sei un genio della matematica!» fece ridendo.
«Accetto la tua proposta. La tua conoscenza dell'aritmetica merita di essere premiata. Ma forse dovremmo semplificare le cose. Che ne dici di giocare con solo due porte? Una capra contro una carrozza.»
«Ma no, lasciamo le cose cosi come stanno!» replicò il ragazzo.
«La tua idea mi piace!» esclamò il barone.
«Al vero giocatore non piace vincere facile! Bene! Le regole sono stabilite!
Tutto dovrà svolgersi correttamente. Niente sporchi trucchi! O vinci o perdi! Carrozza o capra!
Ah, quanto amo certi giochi! Andiamo, scegli!
[...]
Sul punteggio di sei a tre a favore del ragazzo, il barone chiamò l'araldo.
«Portaci il vino!» ordinò.
«Il gioco è ancora lungo!»
«Ma se siamo arrivati a nove...» obiettò il ragazzo.
«Dimmi un po': io ti sono venuto incontro o no? Ora tocca a te venirmi incontro!
Faremo una partita con cento tentativi!» rispose il barone.
La ruota uscì sessantasette volte, rispetto alle trentatré della capra.
Come si giustificano questi eventi?
Perché il ragazzo sembra vincere sempre?
Ho provato ad utilizzare una variabile aleatoria binomiale $X ~ B(n,p)$ con $n = 9$ il numero di tentativi e $p = 1/2$ la probabilità di vittoria per ciascun tentativo.
Valutando le probabilità $P({X = k}) = C(n;k) p^kq^{n-k} = C(n;k) p^n$ per $k \in {5,6,7,8,9}$ e sommandole ottengo una probabilità del 50% quando invece mi aspettavo una probabilità maggiore!
Effettivamente, esclusa la prima porta con la capra aperta a priori (che sembra essere un distrattore), non riesco a capire perché mai la ruota dovesse avere più probabilità di vittoria rispetto alla capra.
Esclusa quella prima porta, le altre due contengono esattamente una ruota e una capra.
I miei procedimenti sopra sembrano confermare proprio questa cosa.
Ma allora sto solo prendendo troppo seriamente questo racconto?
«Vi mostrerò il mio gioco preferito» disse il barone.
«Dietro due di quelle porte troverete una capra. Dietro la terza, invece, una ruota.
Voi dovrete indicare una porta. Se dietro di essa vi troverete una capra, dovrete trattenervi qui per un anno e prestarmi i vostri servigi. Se invece doveste riuscire a trovare la ruota... vi metterò a disposizione la mia carrozza d'oro personale, insieme alle guardie, al cuoco e a un bel po' di provviste»
«Propongo di variare leggermente le condizioni» rispose il ragazzo.
«Per dieci... anzi, nove volte, per escludere sin dal principio la possibilità di una patta.
Se mi dovesse capitare cinque volte la capra, allora ci metteremo al vostro servizio per un anno intero.
Ma se dovessi trovare piu volte la ruota, allora la carrozza sarà nostra!
Ogni volta che sceglierò una porta, me ne rimarranno altre due, vero?»
«Certo» disse il barone
«Sarebbe possibile aprire una delle porte restanti? In particolare quella che nasconde la capra?
A quel punto potrei rifletterci un po' ed eventualmente modificare la mia scelta»
«Non saprei...» rispose il barone.
«Qui gatta ci cova... certo che sei proprio un furbacchione! Se dovessi poter scegliere solo una delle tre porte, avresti una possibilità su tre. Se invece io decidessi di aprire una delle porte che nascondono le capre, avresti una possibilità su due. E a quel punto le probabilità di vincere sarebbero le stesse per entrambi.
A quanto pare sei un genio della matematica!» fece ridendo.
«Accetto la tua proposta. La tua conoscenza dell'aritmetica merita di essere premiata. Ma forse dovremmo semplificare le cose. Che ne dici di giocare con solo due porte? Una capra contro una carrozza.»
«Ma no, lasciamo le cose cosi come stanno!» replicò il ragazzo.
«La tua idea mi piace!» esclamò il barone.
«Al vero giocatore non piace vincere facile! Bene! Le regole sono stabilite!
Tutto dovrà svolgersi correttamente. Niente sporchi trucchi! O vinci o perdi! Carrozza o capra!
Ah, quanto amo certi giochi! Andiamo, scegli!
[...]
Sul punteggio di sei a tre a favore del ragazzo, il barone chiamò l'araldo.
«Portaci il vino!» ordinò.
«Il gioco è ancora lungo!»
«Ma se siamo arrivati a nove...» obiettò il ragazzo.
«Dimmi un po': io ti sono venuto incontro o no? Ora tocca a te venirmi incontro!
Faremo una partita con cento tentativi!» rispose il barone.
La ruota uscì sessantasette volte, rispetto alle trentatré della capra.
Come si giustificano questi eventi?
Perché il ragazzo sembra vincere sempre?
Ho provato ad utilizzare una variabile aleatoria binomiale $X ~ B(n,p)$ con $n = 9$ il numero di tentativi e $p = 1/2$ la probabilità di vittoria per ciascun tentativo.
Valutando le probabilità $P({X = k}) = C(n;k) p^kq^{n-k} = C(n;k) p^n$ per $k \in {5,6,7,8,9}$ e sommandole ottengo una probabilità del 50% quando invece mi aspettavo una probabilità maggiore!
Effettivamente, esclusa la prima porta con la capra aperta a priori (che sembra essere un distrattore), non riesco a capire perché mai la ruota dovesse avere più probabilità di vittoria rispetto alla capra.
Esclusa quella prima porta, le altre due contengono esattamente una ruota e una capra.
I miei procedimenti sopra sembrano confermare proprio questa cosa.
Ma allora sto solo prendendo troppo seriamente questo racconto?
Risposte
"ghira":
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall
Wow... letto tutto d'un fiato... è stato maledettamente illuminante!
Grazie!
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