Perdita di Portafoglio (Quantile di ordine $alpha$ di una certa v.c.)
B.giorno devo risolvere questo esercizio:
La perdita di un portafoglio e descritta dalla v.a. $L = x_0 -X$ dove $X ~N(0, sigma^2)$ e $x_0$
e una costante positiva. Determinare:
(a) il valore $q_(alpha)$ tale che $P(L<= q_(alpha) ) = alpha$ , per $0
(b) la funzione di distribuzione condizionata all'evento ${L > q_(alpha)}$ , $P(L <=x|L > q_(alpha) )$.
allora ho provato a risolvere così..
$ P(L<=q_(alpha))=P(x_0-X<=q_(alpha))=P(X>x_0-q_(alpha))= $ ;
$ =1-P(X<=x_0-q_(alpha))=1-P(sigmaZ<=x_0-q_(alpha))=1-P(Z<=((x_0-q_(alpha))/sigma))= $
$ =1-Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma)=F_L(q_(alpha)) $
mentre nel punto b, dove son sicuro di aver sbagliato, è ben più difficile anche dal punto di vista concettuale e l'ho risolto così..
trovo l'evento condizionante..
$ P(L>q_(alpha))= 1-F_L(q_(alpha))=1-(1-Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma))= Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma) $
trovo il quantile facendo l'inversa dell fdr
$ P(z_(alpha)<=(x_0-q_(alpha))/sigma)=alpha $ ;
adesso solitamente il mio professore fa questo ragionamento e implica questa condizione:
se $ z_(alpha) $ soddisfa $ N[-z_(alpha)]=1-(alpha) $ allora avremo che..
$ z_(alpha)=(x_0-q_(alpha))/sigma $ ; $ q_(alpha)=x_0-sigmaz_(alpha) $
dunque qua è la parte interessante... ho applicato il teorema di Bayes non so se in maniera corretta però
$ P(L <=x|L > q_(alpha))=(P(L<=x)*P(L>q_(alpha)|L<=x))/(P(L>q_(alpha)))= $
$ =((P(L<=x)*(P(L>q_(alpha))))/(P(L>q_(alpha))))= $
$ P(L<=x)=P(x_0-X<=x)=P(-X<=x-x_0)=P(X>x_0-x) =$
$ 1-P(Z<=(x_0-x)/sigma)=1-Phi _z(((x_0-x))/sigma) $
l'idea che ho usato io arrivandoci dopo aver utilizzato Bayes inutilmente e che i due eventi sono indipendenti.
Che ne pensate? GRAZIE
La perdita di un portafoglio e descritta dalla v.a. $L = x_0 -X$ dove $X ~N(0, sigma^2)$ e $x_0$
e una costante positiva. Determinare:
(a) il valore $q_(alpha)$ tale che $P(L<= q_(alpha) ) = alpha$ , per $0
(b) la funzione di distribuzione condizionata all'evento ${L > q_(alpha)}$ , $P(L <=x|L > q_(alpha) )$.
allora ho provato a risolvere così..
$ P(L<=q_(alpha))=P(x_0-X<=q_(alpha))=P(X>x_0-q_(alpha))= $ ;
$ =1-P(X<=x_0-q_(alpha))=1-P(sigmaZ<=x_0-q_(alpha))=1-P(Z<=((x_0-q_(alpha))/sigma))= $
$ =1-Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma)=F_L(q_(alpha)) $
mentre nel punto b, dove son sicuro di aver sbagliato, è ben più difficile anche dal punto di vista concettuale e l'ho risolto così..
trovo l'evento condizionante..
$ P(L>q_(alpha))= 1-F_L(q_(alpha))=1-(1-Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma))= Phi _z((x_0-q_(alpha))/sigma) $
trovo il quantile facendo l'inversa dell fdr
$ P(z_(alpha)<=(x_0-q_(alpha))/sigma)=alpha $ ;
adesso solitamente il mio professore fa questo ragionamento e implica questa condizione:
se $ z_(alpha) $ soddisfa $ N[-z_(alpha)]=1-(alpha) $ allora avremo che..
$ z_(alpha)=(x_0-q_(alpha))/sigma $ ; $ q_(alpha)=x_0-sigmaz_(alpha) $
dunque qua è la parte interessante... ho applicato il teorema di Bayes non so se in maniera corretta però
$ P(L <=x|L > q_(alpha))=(P(L<=x)*P(L>q_(alpha)|L<=x))/(P(L>q_(alpha)))= $
$ =((P(L<=x)*(P(L>q_(alpha))))/(P(L>q_(alpha))))= $
$ P(L<=x)=P(x_0-X<=x)=P(-X<=x-x_0)=P(X>x_0-x) =$
$ 1-P(Z<=(x_0-x)/sigma)=1-Phi _z(((x_0-x))/sigma) $
l'idea che ho usato io arrivandoci dopo aver utilizzato Bayes inutilmente e che i due eventi sono indipendenti.
Che ne pensate? GRAZIE
Risposte
Penso che sia tutto molto semplice...
Il primo va bene anche se, secondo me, il modo più semplice è dedurre subito la distribuzione di L, che è $N(x_0;sigma^2)$
quindi senza fare alcun passaggio ottieni subito
$P(L<=q)=Phi((q-x_0)/sigma)$
dove con $Phi$ indico la CDF di una normale standard....noto $alpha$ risolvi subito con le tavole....La soluzione coincide con quella che hai trovato tu, essendo evidentemente $Phi(x)=1-Phi(-x)$
per il secondo pure è molto semplice....basta considerare la formula della probabilità condizionata....
$(P(qq))=(F_L(x)-F_L(q))/(1-F_L(q))$
In definitiva, la funzione di distribuzione condizionata viene così:
$F_(L|L>q)(x)-={{: ( 0 , ;x<=q ),( (F_L(x)-F_L(q))/(1-F_L(q)) ,;x>q ) :}$
formula che, così esposta, vale per qualunque distribuzione continua, e non solo per la tua gaussiana dell'esercizio.
Per verificare la correttezza della formula trovata puoi provare a fare la stessa cosa, ad esempio, con una uniforme; i clacoli sono immediati e così ci prendi la mano
$X~ U[0;2]$
calcolare la densità della variabile condizionata $P(X|X>1)$
Per tuo controllo (da guardare solo dopo averci provato) ecco la soluzione
Come pure potrebbe esserti utile (come esercizio) determinare la funzione di distribuzione condizionata
$F(x|B)$ in generale, facendo tutti gli altri casi mancanti
1) $B={ X<=a}$
2) $B={ a<=X<=b}$
Ecco infine anche un esercizio sulla probabilità condizionata di una gaussiana (praticamente lo stesso esercizio con un esempio pratico)
Spero che questa risposta (forse un po' prolissa) ti possa essere di aiuto.
[ot]complimenti comunque per il modo di esporre la tua soluzione: è cosa rara di questi tempi
...anche io ho fatto Economia, qualche decennio fa....[/ot]
Il primo va bene anche se, secondo me, il modo più semplice è dedurre subito la distribuzione di L, che è $N(x_0;sigma^2)$
quindi senza fare alcun passaggio ottieni subito
$P(L<=q)=Phi((q-x_0)/sigma)$
dove con $Phi$ indico la CDF di una normale standard....noto $alpha$ risolvi subito con le tavole....La soluzione coincide con quella che hai trovato tu, essendo evidentemente $Phi(x)=1-Phi(-x)$
per il secondo pure è molto semplice....basta considerare la formula della probabilità condizionata....
$(P(q
In definitiva, la funzione di distribuzione condizionata viene così:
$F_(L|L>q)(x)-={{: ( 0 , ;x<=q ),( (F_L(x)-F_L(q))/(1-F_L(q)) ,;x>q ) :}$
formula che, così esposta, vale per qualunque distribuzione continua, e non solo per la tua gaussiana dell'esercizio.
Per verificare la correttezza della formula trovata puoi provare a fare la stessa cosa, ad esempio, con una uniforme; i clacoli sono immediati e così ci prendi la mano
$X~ U[0;2]$
calcolare la densità della variabile condizionata $P(X|X>1)$
Per tuo controllo (da guardare solo dopo averci provato) ecco la soluzione
Come pure potrebbe esserti utile (come esercizio) determinare la funzione di distribuzione condizionata
$F(x|B)$ in generale, facendo tutti gli altri casi mancanti
1) $B={ X<=a}$
2) $B={ a<=X<=b}$
Ecco infine anche un esercizio sulla probabilità condizionata di una gaussiana (praticamente lo stesso esercizio con un esempio pratico)
Spero che questa risposta (forse un po' prolissa) ti possa essere di aiuto.
[ot]complimenti comunque per il modo di esporre la tua soluzione: è cosa rara di questi tempi
...anche io ho fatto Economia, qualche decennio fa....[/ot]
Ciao Tommik! allora mi si è appena cancellato il post che avevo finito di scrivere.. che amarezza
Comunque ti ringrazio per la dritta non avevo minimamente pensato che l'evento condizionante, per dirlo in maniera impropria, "spezzasse" la pdf originale pendendo come nuova pdf la coda destra della vecchia (che tralatro sarebbe la distribuzione delle perdite estreme, cioè ciò che stima il VaR
Oggi all'università mi sono confrontato con i colleghi su questo esercizio e il prof ci ha risolto in aula la parte b dell'esercizio.
Tutto chiaro tranne il 4° passaggio
$ P(L<=x|L>q_alpha)=(P(q_alphaq_alpha))=(P(q_alpha
a questo punto non capisco perchè scambi "upper $x$ e lower $q_alpha$" mentre risolva per $Z$ isolandola dal resto dei termini.
$= (P((x_0-x)/sigma
il risultato poi chiaramente torna perchè fa $F(b)-F(a)$ e gli viene giusto.. però non dovrebbe essere $q_alpha$ il mio nuovo punto iniziale del dominio della nuova pdf? Questa cosa non mi è chiara.
e poi finisce così
$ =[(Phi_z((x_0-q_alpha)/sigma)-Phi_z((x_0-x)/sigma))/(1-alpha)]=(1-Phi_z((x_0-x)/sigma))/(1-alpha) $
[ot]Ti ringrazio, sono dell'idea che sia meglio scrivere bene un post che sia d'aiuto per tutti. possibilmente senza che ti cancelli 2 volte ..
Comunque adesso controllo gli esercizi consigliato sia su Uniforme che quello linkato[/ot]
Comunque ti ringrazio per la dritta non avevo minimamente pensato che l'evento condizionante, per dirlo in maniera impropria, "spezzasse" la pdf originale pendendo come nuova pdf la coda destra della vecchia (che tralatro sarebbe la distribuzione delle perdite estreme, cioè ciò che stima il VaR
Oggi all'università mi sono confrontato con i colleghi su questo esercizio e il prof ci ha risolto in aula la parte b dell'esercizio.
Tutto chiaro tranne il 4° passaggio
$ P(L<=x|L>q_alpha)=(P(q_alpha
a questo punto non capisco perchè scambi "upper $x$ e lower $q_alpha$" mentre risolva per $Z$ isolandola dal resto dei termini.
$= (P((x_0-x)/sigma
il risultato poi chiaramente torna perchè fa $F(b)-F(a)$ e gli viene giusto.. però non dovrebbe essere $q_alpha$ il mio nuovo punto iniziale del dominio della nuova pdf? Questa cosa non mi è chiara.
e poi finisce così
$ =[(Phi_z((x_0-q_alpha)/sigma)-Phi_z((x_0-x)/sigma))/(1-alpha)]=(1-Phi_z((x_0-x)/sigma))/(1-alpha) $
[ot]Ti ringrazio, sono dell'idea che sia meglio scrivere bene un post che sia d'aiuto per tutti. possibilmente senza che ti cancelli 2 volte
..Comunque adesso controllo gli esercizi consigliato sia su Uniforme che quello linkato[/ot]
"Jacob-La-Iena":
...e poi finisce così
$ (1-Phi_z((x_0-x)/sigma))/(1-alpha) $
Qui c'è un evidente refuso e te lo dimostro facilmente:
Partendo dalla soluzione che ti ho proposto io (che ti assicuro essere ineccepibile e scritta nei termini più generali possibili, ovvero valida per qualunque distribuzione continua e non solo per una normale con $q=q_alpha$) ottieni, sostituendo i dati della traccia:
$(F_L(x)-F_L(q_alpha))/(1-F_L(q_alpha))=(Phi((x-x_0)/sigma)-alpha)/(1-alpha)=(1-Phi((x_0-x)/sigma)-alpha)/(1-alpha)=((1-alpha)-Phi((x_0-x)/sigma))/(1-alpha)=$
[size=150]
$1-(Phi((x_0-x)/sigma))/(1-alpha)$[/size]
$1-(Phi((x_0-x)/sigma))/(1-alpha)$[/size]
così è corretto! fallo presente al prof....o è un refuso suo nello scrivere alla lavagna oppure vostro nel copiare....ma come lo hai scritto tu non torna; per rendertene conto basta che controlli le proprietà caratterizzanti di ogni buona funzione di distribuzione...
"Jacob-La-Iena":
però non dovrebbe essere $q_alpha$ il mio nuovo punto iniziale del dominio della nuova pdf? Questa cosa non mi è chiara.
esattamente come dici...infatti se guardi la mia definizione di funzione di distribuzione è proprio così
"tommik":
In definitiva, la funzione di distribuzione condizionata viene così:
$F_(L|L>q)(x)-={{: ( 0 , ;x<=q ),( (F_L(x)-F_L(q))/(1-F_L(q)) ,;x>q ) :}$
Se i passaggi che ha fatto il prof non ti sono chiari prova passo passo a seguire quelli che ho fatto io (spiegarti i passaggi che ha fatto un altro mi sembra una perdita di tempo ed oltretutto il mio procedimento è oggettivamente molto più snello, di validità generale e di immediata verifica...)
"Jacob-La-Iena":
Ciao Tommik! allora mi si è appena cancellato il post che avevo finito di scrivere.. che amarezza
Scrivi il testo su notepad o un qualsiasi editor di testo e poi lo incolli qui o viceversa prima di fare l'anteprima o premere invio, lo copi e lo incolli da un'altra parte ...
Cordialmente, Alex
"Jacob-La-Iena":
Comunque ti ringrazio per la dritta non avevo minimamente pensato che l'evento condizionante, per dirlo in maniera impropria, "spezzasse" la pdf originale pendendo come nuova pdf la coda destra della vecchia (che tralatro sarebbe la distribuzione delle perdite estreme, cioè ciò che stima il VaR
Occhio, questo non è corretto.
Partendo dall'inizio
"Jacob-La-Iena":
B.giorno devo risolvere questo esercizio:
La perdita di un portafoglio e descritta dalla v.a. $ L = x_0 -X $ dove $ X ~N(0, sigma^2) $ e $ x_0 $
e una costante positiva. Determinare:
(a) il valore $ q_(alpha) $ tale che $ P(L<= q_(alpha) ) = alpha $ , per $ 0< alpha<1$
(b) la funzione di distribuzione condizionata all'evento $ {L > q_(alpha)} $ , $ P(L <=x|L > q_(alpha) ) $.
Il VaR "sarebbe" quello che trovi al punto a. Il VaR è una perdita potenziale, o meglio una perdita massima dato un certo livello di confidenza ... un numero, non una distribuzione.
Peraltro le cose non mi sembrano definite al meglio ... ma succede spesso.
Se definisci $L$ già come perdita allora più vai a "destra" più la perdita aumenta. Allora si sarebbe dovuto chiedere
(a) il valore $ q_(alpha) $ tale che $ P(L> q_(alpha) ) = alpha $ , per $ 0< alpha<1$
(dove $alpha$, il livello di confidenza, tipicamente è grande. Es $0,95$)
e il tutto è più intuibile anche rispetto al punto b dove si chiede la distribuzione delle perdite sapendo che la perdita è superiore al VaR.
Se invece leggi $L$ come payoff allora va bene lasciare il punto a com'è ... e poi tipicamente cambi di segno il risultato (ora però conviene intendere $alpha$ piccolo es $0,05$.
Allora devi però modificare il punto b e chiedere
(b) la funzione di distribuzione condizionata all'evento $ {L <= q_(alpha)} $ , $ P(L <=x|L <= q_(alpha) ) $.
Cioè continui a chiedere la distribuzione delle perdite estreme sapendo che si verificano.
Se lasci le cose scritte come sono sembra che chiedi di trovare una certa soglia che lascia a sinistra l'$alpha%$ delle perdite minori (ovvero grossi guadagni). Poi all'altro punto chiedi la distribuzione delle perdite (e guadagni) sapendo che i guadagni estremi non si verificano.
Per il resto ... il Prof è sempre il Prof ... ma non è facile trovarne uno che ti spiega le cose meglio di tommik. Sei fortunato.
Ciao Markowitz!
Occhio, questo non è corretto.[/quote]
Allora hai fatto bene a sottilinearlo. Ieri nella fretta intendevo il quantile di ordine $q_alpha$ che identificava il VaR.
Sempre per rimanere in argomento
Ciò per cui bisogna fare attenzione, come giustamente osservavi, è se si tiene in considerazione un v.c. Loss=$L$ (che appunto definisce la Perdita di Portafoglio) dove in questo caso l'accezione del VaR è di duplice lettura:
Il VaR è La probabilità di $alpha=0.95$ che non perda più $q_alpha$. Ovvero $P(L<=q_alpha)=0.95$
Oppure
Il Var è la probabilità $1-alpha=0.05$ che incorrerò in perdite di portafoglio maggiori della soglia $q_alpha$. Ovvero $P(L>=q_alpha)=0.05$
Oppure una v.c. Portfolio Value=$V$ che chiamerò V=(Valore Portafoglio) (che definisce il valore del mio portafoglio).
Dove il ragionamento da fare è simmetrico
Il VaR è La probabilità di $alpha=0.95$ che il valore del portafolio non scenda sotto un certo valore $-q_alpha$. Ovvero $P(V>=-q_alpha)=0.95$
oppure
Il Var è la probabilità $1-alpha=0.05$ che il valore del portafoglio sarà minore di una certa soglia $-q_alpha$. Ovvero $P(V<=-q_alpha)=0.05$
Ho capito perfettamente cio che dici e mi trovo d'accordo con te, anche perchè la maggior parte delle volte si lavora con una v.c che considera il valore del portafoglio e non delle perdite.
Non sono d'accordo.. perché $ P(L> q_(alpha)) =1-alpha $ cioè è dello 0.05 la probabilità che tu abbia perdite maggiori di $q_alpha$
e su questo lo stesso non sono d'accordo, è una pignoleria però..
Perchè se consideriamo il valore di portafoglio, il quantile devrà essere negativo $ P=(V<=x|V<-q_alpha) $ sei d'accordo?
Per concludere calcolando il valore atteso di questa nuova PDF $ P=(L<=x|L>q_alpha) $ oppure in maniera simmetrica $ P=(V<=x|V<-q_alpha) $, come giustamente dicevi tu, otterremo un'altra misura rishio usata in ambito Risk Management: trattasi dell'Expected Shortfall, che come suggerisce il nome, ci dirà quale sarà il valore atteso di queste perdite (diminuzione del valore del portafoglio) a cui andremo incontro una volta superato il livello del VaR.
[ot]Tommik il Professore ha fatto mea culpa per l'errore finale
[/ot]
"markowitz":
[quote="Jacob-La-Iena"]
Comunque ti ringrazio per la dritta non avevo minimamente pensato che l'evento condizionante, per dirlo in maniera impropria, "spezzasse" la pdf originale pendendo come nuova pdf la coda destra della vecchia (che tralatro sarebbe la distribuzione delle perdite estreme, cioè ciò che stima il VaR
Occhio, questo non è corretto.[/quote]
Allora hai fatto bene a sottilinearlo. Ieri nella fretta intendevo il quantile di ordine $q_alpha$ che identificava il VaR.
Sempre per rimanere in argomento
Ciò per cui bisogna fare attenzione, come giustamente osservavi, è se si tiene in considerazione un v.c. Loss=$L$ (che appunto definisce la Perdita di Portafoglio) dove in questo caso l'accezione del VaR è di duplice lettura:
Il VaR è La probabilità di $alpha=0.95$ che non perda più $q_alpha$. Ovvero $P(L<=q_alpha)=0.95$
Oppure
Il Var è la probabilità $1-alpha=0.05$ che incorrerò in perdite di portafoglio maggiori della soglia $q_alpha$. Ovvero $P(L>=q_alpha)=0.05$
Oppure una v.c. Portfolio Value=$V$ che chiamerò V=(Valore Portafoglio) (che definisce il valore del mio portafoglio).
Dove il ragionamento da fare è simmetrico
Il VaR è La probabilità di $alpha=0.95$ che il valore del portafolio non scenda sotto un certo valore $-q_alpha$. Ovvero $P(V>=-q_alpha)=0.95$
oppure
Il Var è la probabilità $1-alpha=0.05$ che il valore del portafoglio sarà minore di una certa soglia $-q_alpha$. Ovvero $P(V<=-q_alpha)=0.05$
Ho capito perfettamente cio che dici e mi trovo d'accordo con te, anche perchè la maggior parte delle volte si lavora con una v.c che considera il valore del portafoglio e non delle perdite.
"Markowitz":
Se definisci $L$ già come PERDITA allora più vai a "destra" più la perdita aumenta. Allora si sarebbe dovuto chiedere
(a) il valore $ q_(alpha) $
tale che $ P(L> q_(alpha)
) = alpha $
, per
$ 0< alpha<1$
(dove $alpha$, il livello di confidenza, tipicamente è grande. Es $0,95$)
Non sono d'accordo.. perché $ P(L> q_(alpha)) =1-alpha $ cioè è dello 0.05 la probabilità che tu abbia perdite maggiori di $q_alpha$
e su questo lo stesso non sono d'accordo, è una pignoleria però..
"Markowitz":.
$P(L<=x|L<=q_alpha)$
Perchè se consideriamo il valore di portafoglio, il quantile devrà essere negativo $ P=(V<=x|V<-q_alpha) $ sei d'accordo?
Per concludere calcolando il valore atteso di questa nuova PDF $ P=(L<=x|L>q_alpha) $ oppure in maniera simmetrica $ P=(V<=x|V<-q_alpha) $, come giustamente dicevi tu, otterremo un'altra misura rishio usata in ambito Risk Management: trattasi dell'Expected Shortfall, che come suggerisce il nome, ci dirà quale sarà il valore atteso di queste perdite (diminuzione del valore del portafoglio) a cui andremo incontro una volta superato il livello del VaR.
[ot]Tommik il Professore ha fatto mea culpa per l'errore finale
[/ot]
"Jacob-La-Iena":
Ciao Markowitz!
[quote="markowitz"][quote="Jacob-La-Iena"]
Comunque ti ringrazio per la dritta non avevo minimamente pensato che l'evento condizionante, per dirlo in maniera impropria, "spezzasse" la pdf originale pendendo come nuova pdf la coda destra della vecchia (che tralatro sarebbe la distribuzione delle perdite estreme, cioè ciò che stima il VaR
Occhio, questo non è corretto.[/quote]
Allora hai fatto bene a sottilinearlo. Ieri nella fretta intendevo il quantile di ordine $ q_alpha $ che identificava il VaR.
[/quote]
Esatto.
Solo che dopo, nonostante leggendo tutta la frase si intuisce che hai capito, affermi più volte che "il VaR è la probabilità ..." il VaR non è una probabilità, è, appunto, $ q_alpha $ cioè, in termini statistico-probabilistici, un quantile. Occhio.
"Jacob-La-Iena":
Ho capito perfettamente cio che dici e mi trovo d'accordo con te, anche perchè la maggior parte delle volte si lavora con una v.c che considera il valore del portafoglio e non delle perdite.
Infatti.
Tuttavia:
"Jacob-La-Iena":
[quote="Markowitz"]
Se definisci $ L $ già come PERDITA allora più vai a "destra" più la perdita aumenta. Allora si sarebbe dovuto chiedere
(a) il valore $ q_(alpha) $
tale che $ P(L> q_(alpha) ) = alpha $
, per
$ 0< alpha<1 $
(dove $ alpha $, il livello di confidenza, tipicamente è grande. Es $ 0,95 $)
Non sono d'accordo.. perché $ P(L> q_(alpha)) =1-alpha $ cioè è dello 0.05 la probabilità che tu abbia perdite maggiori di $ q_alpha $
[/quote]
No. Con $alpha=0,95$ devi lasciare $alpha$ perchè solo così lascia a destra il $5%$ delle maggiori perdite. Se a destra dell'$=$ metti $1-alpha$ lasci a destra proprio il $95%$. Occhio al verso della diseguaglianza.
"Jacob-La-Iena":.
e su questo lo stesso non sono d'accordo, è una pignoleria però.. [quote="Markowitz"]$ P(L<=x|L<=q_alpha) $
Perchè se consideriamo il valore di portafoglio, il quantile devrà essere negativo $ P=(V<=x|V<-q_alpha) $ sei d'accordo?
[/quote]
Non sono d'accordo perché, giusto o sbagliato che possa essere, non è necessario/utile distinguere i casi in cui il quantile (quindi il VaR) è positivo o negativo ... tutto è già deciso quando abbiamo definito la v.a. in oggetto (valore o perdita). Mettersi a cambiare i segni significa girare ancora la frittata ... ed allora ... la frittata la facciamo davvero.
"Jacob-La-Iena":
Per concludere calcolando il valore atteso della v.a. caratterizzata da questa nuova PDF $ P=(L<=x|L>q_alpha)$, come giustamente dicevi tu, otterremo un'altra misura di rishio usata in ambito Risk Management: trattasi dell'Expected Shortfall, che come suggerisce il nome, ci dirà quale sarà il valore atteso di queste perdite (diminuzione del valore del portafoglio) a cui andremo incontro sapendo di aver "già rotto" il livello del VaR.
Questo si. Infatti tale distribuzione, al lato pratico, serve a questo.
"Jacob-La-Iena":
Tommik il Professore ha fatto mea culpa per l'errore finale
e quando sei studente sono cose che possono, come minimo, farti perdere molto tempo. Come ti dicevo sopra ... sei stato fortunato.
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