Pdf e estrazione di campione casuale di n elementi
Ringrazio in anticipo il vostro forum, dato che da un mese a questa parte ho trovato tantissime soluzioni per l'esame che sto preparando e credo di essere migliorata tantissimo grazie a voi...
ora vi posto un paio di domande che mi sono uscite all'esame, una di queste non so proprio come risolverla, un'altra in linea teorica so come risolverla ma ho qualche problema sull'integrale, quindi non so se ci siano delle regole particolari che non ho tenuto in considerazione.
1)Data questa pdf: fx=a x^alpha e^(-x/beta)
con 0<=x
io ho risposto che poichè
+∞
∫ f(x)dx = 1
0
la condizione è che
+∞
a = 1 / ∫ x^α e^(–x/β)dx
0
L'integrale mi sembra un pò complicato, non so se ci siano delle regole che mi permettano di risolverlo facilmente.
2)la durata di un certo tipo di tubi a vuoto è distribuita esponenzialmente ,con parametro noto Lambda. Se estraiamo un campione casuale di n tubi, quanto valgono media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione ?
io ho scritto che se estraiamo un campione casuale di n elementi, otteniamo n determinazioni x1,x2,...xn
prima di essere estratte, però, costituivano delle v.a. X1,X2,...Xn. l'insieme di tali v.a. costituisce una ennupla, cioè una v.a multidimensionale che sarà proprio il campione Xi.
ora voglio legare i parametri del campione a quelli della popolazione atraverso Xsegnato= media campionaria e S^2= varianza campionaria.
E qui mi sono fermata, perchè non ho capito che intende per "media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione".
ora vi posto un paio di domande che mi sono uscite all'esame, una di queste non so proprio come risolverla, un'altra in linea teorica so come risolverla ma ho qualche problema sull'integrale, quindi non so se ci siano delle regole particolari che non ho tenuto in considerazione.
1)Data questa pdf: fx=a x^alpha e^(-x/beta)
con 0<=x
io ho risposto che poichè
+∞
∫ f(x)dx = 1
0
la condizione è che
+∞
a = 1 / ∫ x^α e^(–x/β)dx
0
L'integrale mi sembra un pò complicato, non so se ci siano delle regole che mi permettano di risolverlo facilmente.
2)la durata di un certo tipo di tubi a vuoto è distribuita esponenzialmente ,con parametro noto Lambda. Se estraiamo un campione casuale di n tubi, quanto valgono media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione ?
io ho scritto che se estraiamo un campione casuale di n elementi, otteniamo n determinazioni x1,x2,...xn
prima di essere estratte, però, costituivano delle v.a. X1,X2,...Xn. l'insieme di tali v.a. costituisce una ennupla, cioè una v.a multidimensionale che sarà proprio il campione Xi.
ora voglio legare i parametri del campione a quelli della popolazione atraverso Xsegnato= media campionaria e S^2= varianza campionaria.
E qui mi sono fermata, perchè non ho capito che intende per "media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione".
Risposte
Ciao benvenuta.
Per il primo è giusto quello che dici (se poi vuoi essere ancora più precisa ci puoi mettere la condizione a>0).
Per quell'integrale guarda qua se ti aiuta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Devi fare una sostituzione.
Per il due ti chiede di trovare media e varianza di:
$sum_{i=1}^n X_i$ e
$1/nsum_{i=1}^n X_i$
Ciao.
Per il primo è giusto quello che dici (se poi vuoi essere ancora più precisa ci puoi mettere la condizione a>0).
Per quell'integrale guarda qua se ti aiuta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Devi fare una sostituzione.
Per il due ti chiede di trovare media e varianza di:
$sum_{i=1}^n X_i$ e
$1/nsum_{i=1}^n X_i$
Ciao.
"DajeForte":
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
In pratica se trovo $a$ tale che la densità dell'esercizio sia la densità di una legge Gamma, sono a posto, giusto?
Potrei puntare sulla legge Gamma di parametri $\alpha+1$ e $1/\beta$...
grazie per la risposta..
dunque per l'esercizio 2 ho che la "v.a. somma" ha come media=nµ e come varianza=nσ^2
ma non sono sicura invece della "v.a. valor medio", cioè è media=µ e varianza=σ^2?
inoltre credi che questo che ho scritto sia superfluo?
poi per l'esercizio 1 purtroppo ricordo poco della soluzione degli integrali, se non quelli proprio semplici, visto che l'esame di analisi l'ho fatto 5 anni fa
cercherò di seguire il tuo consiglio recuperando tutte le nozioni che avevo di analisi!
dunque per l'esercizio 2 ho che la "v.a. somma" ha come media=nµ e come varianza=nσ^2
ma non sono sicura invece della "v.a. valor medio", cioè è media=µ e varianza=σ^2?
inoltre credi che questo che ho scritto sia superfluo?
se estraiamo un campione casuale di n elementi, otteniamo n determinazioni x1,x2,...xn
prima di essere estratte, però, costituivano delle v.a. X1,X2,...Xn. l'insieme di tali v.a. costituisce una ennupla, cioè una v.a multidimensionale che sarà proprio il campione Xi.
poi per l'esercizio 1 purtroppo ricordo poco della soluzione degli integrali, se non quelli proprio semplici, visto che l'esame di analisi l'ho fatto 5 anni fa
cercherò di seguire il tuo consiglio recuperando tutte le nozioni che avevo di analisi!
Guarda come si scrivono e formule nei messaggi.
Per il primo è giusto quello che hai scritto.
Devi dunque risolvere $I=int_0^{infty}x^A e^{-x/B}dx$ fai la sostituzione $y=x/B$; $B dy=dx$ ottieni
$int_0^{infty}(B y)^A e^{-y} B dy=B^{A+1}int_0^{infty}y^A e^{-y}dy$
Quell'integrale converge ed il suo valore viene indicato con $Gamma(A+1)$ (vedi il primo link che ti ho segnalato)
dunque $I=B^{A+1} Gamma(A+1)$
dunque ottieni che $f=1/(B^{A+1}Gamma(A+1)) x^A e^{-x/B}$.
La relazione con la distribuzione gamma è che la densità della gamma di parametri $nu$ e $l$ è
$l^nu/(Gamma(nu))e^(-lx)x^{nu-1}$
hai che la tua distribuzione è una Gamma con parametri $l=1/B$ e $nu=A+1$.
Per il secondo se hai due v.a. $X$ ed $Y$ e due costanti reali $a$ e $b$
sai calcolare la media e la variaza di $aX+bY$?
Per il primo è giusto quello che hai scritto.
Devi dunque risolvere $I=int_0^{infty}x^A e^{-x/B}dx$ fai la sostituzione $y=x/B$; $B dy=dx$ ottieni
$int_0^{infty}(B y)^A e^{-y} B dy=B^{A+1}int_0^{infty}y^A e^{-y}dy$
Quell'integrale converge ed il suo valore viene indicato con $Gamma(A+1)$ (vedi il primo link che ti ho segnalato)
dunque $I=B^{A+1} Gamma(A+1)$
dunque ottieni che $f=1/(B^{A+1}Gamma(A+1)) x^A e^{-x/B}$.
La relazione con la distribuzione gamma è che la densità della gamma di parametri $nu$ e $l$ è
$l^nu/(Gamma(nu))e^(-lx)x^{nu-1}$
hai che la tua distribuzione è una Gamma con parametri $l=1/B$ e $nu=A+1$.
Per il secondo se hai due v.a. $X$ ed $Y$ e due costanti reali $a$ e $b$
sai calcolare la media e la variaza di $aX+bY$?
Per il secondo se hai due v.a. X ed Y e due costanti reali a e b
sai calcolare la media e la variaza di aX+bY ?
uhm la media dovrebbe essere:
\(\displaystyle m_x=E(X+Y)=∬_{-oo}^{oo}(x+y) f_{XY}(x,y)dxdy=E(X)+E(Y)=m_X+m_Y \)
mentre la varianza:
\(\displaystyle Var(X+Y)=E((X+Y)-(m_x+m_y))^2 =Var(X)+Var(Y)+2E((X-m_x)(Y-m_y)) \)
però non lo so fare contando le costanti a e b...
"brancamenta":
però non lo so fare contando le costanti a e b...
Penso che si usino le regole:
$E[aX]=aE[X]$
$Var(aX+b)=a^2Var(X)$
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