P.d.f. di funzione di due variabili aleatorie
Buongiorno a tutti e complimenti per il forum!
Sono una studentessa in fisica e ho bisogno del vostro aiuto per questo esercizio:
Se le variabili x e y hanno densità congiunte:
$ F(x,y)={((xy)/96,se 0
trovare la funzione densità di probabilità di:
1. $ z=x+2y $
2. $ z=xy^(2) $
3. $ z=x^(2)y $
Io ho applicato il metodo del determinante jacobiano, cioè dopo avere invertito la funzione rispetto x, ho calcolato:
$ F(z)=int_()^()F(f^-1(z,y),y)|(df^-1)/(dz)|dy $
e ho ottenuto i seguenti risultati:
1. $ x=z-2y $ e $ del x // del z=1 $
quindi
$ F(z)= int_(1)^(5)(((z-2y)y)/96)dy = int_(1)^(5)((zy-2y^(2) )/96)dy = 1 / 96 [zint_(1)^(5)ydy-2int_(1)^(5)y^(2)dy] = z / 8-31 / 36 $
2. $ x=z / y^(2) $ e $ del x // del z =1 / y^(2) $
quindi
$ F(z)=int_(1)^(5)(z/y^2 y/96 1/y^2)dy =z/96int_(1)^(5)1/y^(3) dy= z/200 $
3. $ x=sqrt(z) / sqrt(y) $ e $ del x // del z = 1 / sqrt(y) 1/(2sqrt(z)) $
quindi
$ F(z)=int_(1)^(5)sqrt(z)/sqrt(y) y/96 1/sqrt(y) 1/(2sqrt(z))dy $
ma si cancellano sia z che y...
Visti i risultati ottenuti sono certa che ci sia qualcosa di sbagliato. E' il metodo usato? In che altro modo posso procedere? Ho fatto degli errori di calcolo?
Gli integrali sono su y, quindi è giusto integrare tra 1 e 5 (l'intervallo di y) trascurando il fatto che 0
1. 2
Ringrazio anticipatamente chiunque sarà così gentile da rispondermi!
Sono una studentessa in fisica e ho bisogno del vostro aiuto per questo esercizio:
Se le variabili x e y hanno densità congiunte:
$ F(x,y)={((xy)/96,se 0
trovare la funzione densità di probabilità di:
1. $ z=x+2y $
2. $ z=xy^(2) $
3. $ z=x^(2)y $
Io ho applicato il metodo del determinante jacobiano, cioè dopo avere invertito la funzione rispetto x, ho calcolato:
$ F(z)=int_()^()F(f^-1(z,y),y)|(df^-1)/(dz)|dy $
e ho ottenuto i seguenti risultati:
1. $ x=z-2y $ e $ del x // del z=1 $
quindi
$ F(z)= int_(1)^(5)(((z-2y)y)/96)dy = int_(1)^(5)((zy-2y^(2) )/96)dy = 1 / 96 [zint_(1)^(5)ydy-2int_(1)^(5)y^(2)dy] = z / 8-31 / 36 $
2. $ x=z / y^(2) $ e $ del x // del z =1 / y^(2) $
quindi
$ F(z)=int_(1)^(5)(z/y^2 y/96 1/y^2)dy =z/96int_(1)^(5)1/y^(3) dy= z/200 $
3. $ x=sqrt(z) / sqrt(y) $ e $ del x // del z = 1 / sqrt(y) 1/(2sqrt(z)) $
quindi
$ F(z)=int_(1)^(5)sqrt(z)/sqrt(y) y/96 1/sqrt(y) 1/(2sqrt(z))dy $
ma si cancellano sia z che y...
Visti i risultati ottenuti sono certa che ci sia qualcosa di sbagliato. E' il metodo usato? In che altro modo posso procedere? Ho fatto degli errori di calcolo?
Gli integrali sono su y, quindi è giusto integrare tra 1 e 5 (l'intervallo di y) trascurando il fatto che 0
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Ringrazio anticipatamente chiunque sarà così gentile da rispondermi!
Risposte
se quello che vuoi trovare sono delle densità di probabilità, allora come test per vedere se i conti sono giusti, devi avere che $\intF(z)dz=1$... se no hai sbagliato qualcosa.
Non ho guardato i calcoli, ma i procedimenti a prima vista appaiono giusti.
L'unica cosa che non mi convince sono i campi di esistenza della $z$, come gli hai ottenuti?
Non ho guardato i calcoli, ma i procedimenti a prima vista appaiono giusti.
L'unica cosa che non mi convince sono i campi di esistenza della $z$, come gli hai ottenuti?
Sono giusti anche gli estremi di integrazione?
Adesso riprovo a fare i calcoli, magari ho sbagliato qualcosa...
Grazie
Adesso riprovo a fare i calcoli, magari ho sbagliato qualcosa...
Grazie
mi sono dimenticato di scrivere, secondo me puzzano un pò i dominio per z, come hai fatto ad ottenerli?
Ho semplicemente sostituito nelle equazioni di z prima x=0 e y=0 e poi x=4 e y=5. Nemmeno io ero troppo convinta, però avevo trovato un esempio sul libro dove z=x+y, x e y avevano distribuzione uniforme tra 0 e 1 e diceva che allora 0
Ho provato a fare anche la verifica di normalizzazione che mi hai suggerito: non viene in nessun caso.
se $z=x+2y$ e $y\in [1,5]$, $x\in [0,4]$ allora se fissi $x_0$ in quest'ultimo intervallo, $z$ può assumere tutti i numeri compresi tra $x_0+2$ e $x_0+10$, non concordi? quindi ragionando su tutte le x cosa ottieni?
il fatto che tu integri tra 1 e 5 discende dal fatto che se $f(x,y)$ è la densità congiunta, allora la densità di $x$ è ottenuta da $g(x)=\int f(x,y)dy$.
il fatto che tu integri tra 1 e 5 discende dal fatto che se $f(x,y)$ è la densità congiunta, allora la densità di $x$ è ottenuta da $g(x)=\int f(x,y)dy$.
Quindi non può essere $ 0+2<4+10 $ perchè $ x_0 $ deve avere lo stesso valore in entrambi i lati della disuguaglianza, è questo che intendi?
Perciò
$ x_0=0 $ allora $ 2
$ x_0=1 $ allora $ 3
$ x_0=2 $ allora $ 4
$ x_0=3 $ allora $ 5
$ x_0=4 $ allora $ 6
Ma allora quale intervallo devo scegliere per z? Non riesco a capire... L'unica cosa che mi viene da pensare è che $ x_0=0 $ limita i valori di z verso l'alto (cioè z non può essere maggiore di 10), viceversa quando $ x_0=4 $ allora z non può essere minore di 6.. quindi 6
Grazie mille per il prezioso aiuto e scusami se ti faccio una domanda banale, ma sono un po' arrugginita...
Perciò
$ x_0=0 $ allora $ 2
$ x_0=1 $ allora $ 3
$ x_0=2 $ allora $ 4
$ x_0=3 $ allora $ 5
$ x_0=4 $ allora $ 6
Ma allora quale intervallo devo scegliere per z? Non riesco a capire... L'unica cosa che mi viene da pensare è che $ x_0=0 $ limita i valori di z verso l'alto (cioè z non può essere maggiore di 10), viceversa quando $ x_0=4 $ allora z non può essere minore di 6.. quindi 6
Grazie mille per il prezioso aiuto e scusami se ti faccio una domanda banale, ma sono un po' arrugginita...
guarda i due estremi dell'intervallo, $x_0=0$ e $x_1=4$.
Come hai fatto vedere te $2$ è il valore più basso che $z$ può assumere, mentre $14$ è il valore più alto che $z$ può assumere.
Tutti quelli i mezzo è facile verificare che sono ottenuti con un adeguata scelta di $x $ e $y$, cioè z assume tutti i valori sull'intervallo $[2,14]$. Per rendertene conto devi far variare $x_0$ su tutto $[0,4]$ e vedere che ogni punto di $[2,14]$ è raggiungibile con un adeguata scelta di $x_0$ e $y\in [1,5]$.
PS se posso permettermi: più che arrugginita direi un pò confusa
.
Come hai fatto vedere te $2$ è il valore più basso che $z$ può assumere, mentre $14$ è il valore più alto che $z$ può assumere.
Tutti quelli i mezzo è facile verificare che sono ottenuti con un adeguata scelta di $x $ e $y$, cioè z assume tutti i valori sull'intervallo $[2,14]$. Per rendertene conto devi far variare $x_0$ su tutto $[0,4]$ e vedere che ogni punto di $[2,14]$ è raggiungibile con un adeguata scelta di $x_0$ e $y\in [1,5]$.
PS se posso permettermi: più che arrugginita direi un pò confusa
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Hai ragione: ho fatto molta confusione.
Anche perchè all'inizio avevo ragionato pensando che il valore massimo di z=x+2y doveva essere z=4+10, ma nella domanda sul forum, ho scritto 10, anzichè 14. Perciò quando tu giustamente l'hai contestato, ho ragionato pensando che fosse sbagliato il 14 e ho tirato fuori quella assurda conlusione.
Scusa e ancora grazie.
Anche perchè all'inizio avevo ragionato pensando che il valore massimo di z=x+2y doveva essere z=4+10, ma nella domanda sul forum, ho scritto 10, anzichè 14. Perciò quando tu giustamente l'hai contestato, ho ragionato pensando che fosse sbagliato il 14 e ho tirato fuori quella assurda conlusione.
Scusa e ancora grazie.
Ho rifatto i calcoli decine di volte e mi vengono sempre gli stessi risultati sbagliati (non è mai $ int_()^() f(z)dz = 1 $ ). Nel terzo caso ( $ z=x^2y $ ) addirittura verrebbe f(z) = costante.
A questo punto o ho fatto degli errori di calcolo davvero grossolani (anche perchè i conti mi sembrano piuttosto semplici) o ho sbagliato il metodo da applicare.
Qualche suggerimento per procedere diversamente??
Io non so davvero dove sbattere la testa!
Grazie mille
A questo punto o ho fatto degli errori di calcolo davvero grossolani (anche perchè i conti mi sembrano piuttosto semplici) o ho sbagliato il metodo da applicare.
Qualche suggerimento per procedere diversamente??
Io non so davvero dove sbattere la testa!
Grazie mille
Ti dirò che non ho letto tutta la discussione perchè mi risultava molto lunga.
Però ho capito che c'è qualche problema.
Chiedo scusa se dirò cose già dette o inultili o, magari, errate.
Prendiamo il terzo: $Z=X^2Y$. Innanzitutto vediamo che essendo $Y$ positiva lo è anche la $Z$.
Ora secondo me ti conviene disegnare il dominio della variabile doppia $(X,Y)$, che è formato dal quadrato di vertici (0,1)(4,1)(4,5)(0,5).
La $Z$ assumerà valori tra $0$ ed $80$.
Passiamo dalla funzione di ripartizione $P(Z
Ora sempre nel disegno ti conviene disegnarti le curve di livello della funzione $z=f(x,y)=x^2y$ queste ti danno dei rami di iperbole e man mano che $z$ cresce ti allontani dall'origine.
A questo punto si capisce che l'integrale dentro il quadrato e dietro l'iperbole (della funzione di densità) per un $z$ fissato ti da la probabilità scritta sopra.
A questo punto devi solo trovare gli estremi di integrazione dell'integrale doppio che otterrai tra i punti di intersezione dell'iperbole ed il dominio della $(X,Y)$. Fai attenzione che ad una prima analisi per determinare gli estremi devi discriminare i casi $0
Però ho capito che c'è qualche problema.
Chiedo scusa se dirò cose già dette o inultili o, magari, errate.
Prendiamo il terzo: $Z=X^2Y$. Innanzitutto vediamo che essendo $Y$ positiva lo è anche la $Z$.
Ora secondo me ti conviene disegnare il dominio della variabile doppia $(X,Y)$, che è formato dal quadrato di vertici (0,1)(4,1)(4,5)(0,5).
La $Z$ assumerà valori tra $0$ ed $80$.
Passiamo dalla funzione di ripartizione $P(Z
Ora sempre nel disegno ti conviene disegnarti le curve di livello della funzione $z=f(x,y)=x^2y$ queste ti danno dei rami di iperbole e man mano che $z$ cresce ti allontani dall'origine.
A questo punto si capisce che l'integrale dentro il quadrato e dietro l'iperbole (della funzione di densità) per un $z$ fissato ti da la probabilità scritta sopra.
A questo punto devi solo trovare gli estremi di integrazione dell'integrale doppio che otterrai tra i punti di intersezione dell'iperbole ed il dominio della $(X,Y)$. Fai attenzione che ad una prima analisi per determinare gli estremi devi discriminare i casi $0
Grazie mille per i consigli che mi hai dato, adesso ci ragionerò un po' su.
Non è che magari sapresti indicarmi anche un libro di testo dove trovare un po' di teoria e qualche esercizio di questo tipo svolto?
Non è che magari sapresti indicarmi anche un libro di testo dove trovare un po' di teoria e qualche esercizio di questo tipo svolto?
"Squirrel":
Non è che magari sapresti indicarmi anche un libro di testo dove trovare un po' di teoria e qualche esercizio di questo tipo svolto?
Mi inserisco per dare qualche consiglio:
- Dall'Aglio - Calcolo delle Probabilità - Ed. Zanichelli
- Papoulis - Probability, Random Variables and Stochastic Processes
Ciao a tutti e scusate se mi rivolgo ancora a voi per un aiuto dopo tanti giorni, ma prima non ho avuto tempo per studiare.
Riassumo brevemente qui (così non dovete andare a rileggervi i post precedenti) che devo trovare la funzione densità di probabilità di z=f(x,y) sapendo che la joint pdf di x e y è:
$ F(x,y)={((xy)/96,se 0
Leggendo i libri che mi avete suggerito ho capito che per determinare la densità di probabilità di z devo calcolare:
$ f_z(z)dz=int int_(DeltaD_z) f(x,y) dx dy $
dove $ DeltaD_z $ è la regione del piano tale che z
Se poi nell'integrale esprimiamo x in funzione di z e dx in funzione di dz otteniamo l'integrale:
$ f_z(z)=int f(f^-1(z,y),y)(deltaf^-1(z,y))/(deltaz) dy $
Giusto? Oppure è sbagliato passare dall'integrale di prima a questo?
Per il caso $ z=x^2y $ ho disegnato il dominio di (x,y) e i rami di parabola.
Il mio primo problema sono gli estremi di integrazione. Guardando il disegno vedo che, mentre y varia tra 1 e 5, per z fissato, x è limitata dalla parabola. Inoltre non può mai essere x=0. Però non so proprio come interpretare tutto questo.
Poi non riesco proprio a capire il suggerimento di discriminare i casi 0
L'altro problema è che se nell' integrale $ f_z(z)dz $ sostituisco $ x=sqrt(z)/sqrt(y) $ e $ dx=1/(2sqrt(y)sqrt(z))dz $ ottengo:
$ f_z(z)=int y/96sqrt(z)/sqrt(y)1/(2sqrt(y)sqrt(z))dy = 1/192 int dy$
cioè la z sparisce.
Dove sbaglio? E' solo che non sono capace di determinare gli estremi di integrazione o sbaglio anche ad applicare le formule?
Vi ringrazio tantissimo.
Riassumo brevemente qui (così non dovete andare a rileggervi i post precedenti) che devo trovare la funzione densità di probabilità di z=f(x,y) sapendo che la joint pdf di x e y è:
$ F(x,y)={((xy)/96,se 0
Leggendo i libri che mi avete suggerito ho capito che per determinare la densità di probabilità di z devo calcolare:
$ f_z(z)dz=int int_(DeltaD_z) f(x,y) dx dy $
dove $ DeltaD_z $ è la regione del piano tale che z
Se poi nell'integrale esprimiamo x in funzione di z e dx in funzione di dz otteniamo l'integrale:
$ f_z(z)=int f(f^-1(z,y),y)(deltaf^-1(z,y))/(deltaz) dy $
Giusto? Oppure è sbagliato passare dall'integrale di prima a questo?
Per il caso $ z=x^2y $ ho disegnato il dominio di (x,y) e i rami di parabola.
Il mio primo problema sono gli estremi di integrazione. Guardando il disegno vedo che, mentre y varia tra 1 e 5, per z fissato, x è limitata dalla parabola. Inoltre non può mai essere x=0. Però non so proprio come interpretare tutto questo.
Poi non riesco proprio a capire il suggerimento di discriminare i casi 0
L'altro problema è che se nell' integrale $ f_z(z)dz $ sostituisco $ x=sqrt(z)/sqrt(y) $ e $ dx=1/(2sqrt(y)sqrt(z))dz $ ottengo:
$ f_z(z)=int y/96sqrt(z)/sqrt(y)1/(2sqrt(y)sqrt(z))dy = 1/192 int dy$
cioè la z sparisce.
Dove sbaglio? E' solo che non sono capace di determinare gli estremi di integrazione o sbaglio anche ad applicare le formule?
Vi ringrazio tantissimo.
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