Payoff di due strategie a confronto

[ReggaetonDj]

Scusate per il titolo un po' fuorviante ma non sapevo come sintetizzare la mia domanda.

PREMESSA:

Allora io sto valutando il valore atteso di una v.c. [tex]$X$[/tex] che indica il costo che sarà a carico di un giocatore. Si parla ovviamente di un numero reale positivo di cui non vi sto a spiegare la fonte. Indico rispettivamente con [tex]$f_x(\cdot)$[/tex] la relativa densità di probabilità e con [tex]$F_x(\cdot)$[/tex] la funzione di ripartizione.

Un giocatore deve scommettere su un valore che sia maggiore di [tex]$X$[/tex] e chiamo [tex]$e \geq 0$[/tex] il valore su cui scommette. Il gioco prevede che:

[*:2wpfsumy]se [tex]$e \geq X$[/tex] allora lui dovrà pagare solo una quota pari a [tex]$\alpha+X$[/tex];[/*:m:2wpfsumy]
[*:2wpfsumy]se [tex]$e < X$[/tex], il costo a suo carico sarà [tex]$\beta + e$[/tex].[/*:m:2wpfsumy][/list:u:2wpfsumy]

Si noti che la scommessa ha senso in quanto [tex]$ \alpha << \beta$[/tex]. Chiamo [tex]$\pi_\Delta := \beta - \alpha$[/tex]. Ha senso occuparsi dei valori di [tex]$ e \in [0, \pi_\Delta ] $[/tex], difatti al giocatore non coverebbe mai scommettere valori di [tex]$ e > \pi_\Delta$[/tex]. Questa famiglia di strategie sarebbe sempre dominata dalla scommessa [tex]$e = 0$[/tex], difatti:

[tex]$\beta < \alpha + e, \,\,\, \forall e > \pi_\Delta$[/tex]


A questo punto anche il payoff (costo) sarà una variabile casuale (a tratti), che chiamo [tex]$Y$[/tex], e quindi posso dire che [tex]$Y = g(e,X)$[/tex].

[tex]$g(e,X)= \begin{cases}
\alpha+X, & \text{se} \, X \leq e\\
\beta + e, & \text{se} \, X > e

\end{cases}$[/tex]

Prima domanda:

Posso dire con certezza che [tex]$Y$[/tex] sia una variabile casuale funzione di [tex]$e$[/tex] e di [tex]$X$[/tex]?



A questo punto mi calcolo il costo atteso in funzione della quota [tex]$e$[/tex] scommessa:

[tex]$E[Y] = \int_0^{e} (\alpha + u) f_x(u)du + \Bigl(1 - \int_0^e f_x(u)du\Bigr)(\beta + e)$[/tex]

Provo a studiare l'andamento del payoff atteso per minimizzarlo. Derivo rispetto ad [tex]$e$[/tex] ed ottengo:

[tex]$\frac{d}{de}E[Y] =1 - F_x(e) = f_x(e)\pi_\Delta$[/tex]


Seconda domanda:

Come è possibile interpretare tale formula? Ottengo un punto stazionario quando la probabilità che il il numero sia maggiore di [tex]$e$[/tex] eguaglia la pdf calcolata in [tex]$e$[/tex] per la differenza dei payoff...ma che significato avrebbe?

Terza domanda:

E' possibile ricavare il valore ottimo di [tex]$e$[/tex] dall'equazione: [tex]$1 - F_x(e) = f_x(e)\pi_\Delta$[/tex]


Grazie

[DajeForte]

Non capisco bene; una volta usi $s$ una volta usi $e$ non sono riuscito a capire.

Da come la descrivi a parole semra $Y\ =\ pi(s)\ 1_{X>=s} + k \ 1_{X Se così questa è una v.a.

[ReggaetonDj]

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[DajeForte]

Ci stavo un po' ragionando su ma non mi torna una cosa: la $Y$ vale $pi(e)$ se $X<=e$ oppure se $X>e$?

Non mi pare comunque che hai derivato bene nel primo post, ti sei dimenticato la derivata di $pi(e)$.

Dal tuo ultimo post se $pi(e)$ è proporzionale ad $e$ (crescente) la massimizzazione la ottieni mandando $e$ ad infinito che però immagino che non abbia senso al tuo problema.

Quindi ti inviterei ancora ad essere più preciso (corretto), ci rifletterò su anche se non d sia immediato (mi viene in mente una sorta di saggio marginale di sostituzione)...

[ReggaetonDj]

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[ReggaetonDj]

Ok, ho riscritto tutto in maniere più chiara nel primo post, se vuoi puoi anche cancellare questi post intermedi! : )