Passeggiate Aleatorie

[SaraB931]

Buongiorno, in un esame di Calcolo delle probabilità e statistica il mio professore ha inserito questo esercizio:

$ G_n^1 $, $ G_n^2 $, $ G_n^3 $, sono passeggiate aleatorie indipendenti e simmetriche ( ossia con $ p=1/2 $). Calcolare la probabilità $ P_n $ che tutte e tre siano all'origine al tempo $ 2n $ e provare che, con probabilità uno, questo evento si verifica solo un numero finito di volte.

Proponendo la seguente soluzione:

$ P(G_(2n)^1=0)=P(G_(2n)^2=0)=P(G_(2n)^3=0)=( (2n), (n) )2^-(2n) $ e quindi, data l'indipendenza,

$ P_(2n)=( (2n), (n) )^3 2^-(6n) ~~ C/n^(3/2) $ dalla formula di Stirling. Questo prova la covergenza della serie $ sum(P_n) $ e per il lemma di Borel Cantelli l'evento in questione si realizza solo un numero finito di volte.

Nel mio svolgimento mi ritrovo con quasi tutto tranne che nel risultato della $ P_(2n) $ dove ottengo questo:

$ P_(2n)=( (2n), (n) )^3 2^-(6n)=((2n!)/(n!n!))^3 2^-(6n) ~~ ((e^(-2n) (2n)^(2n) sqrt(2n) C)/((e^(-n) (n)^(n) sqrt(n) C)(e^(-n) (n)^(n) sqrt(n) C)))^3 2^-(6n) = ((2^(2n) sqrt(2))/(sqrt(n)C))^3 2^-(6n) = (2/n)^(3/2) (1/C^3) $

Vorrei sapere se possibile quale sia il risultato giusto e i passaggi che mi sono persa!

[bassi0902]

é tutto giusto qui, i tuoi passaggi sono corretti, alla fine ottieni che $P_{2n}$ si comporta asintoticamente come $\frac{1}{n^{3/2}}$ che é quello che ti serve.

[SaraB931]

"bassi0902":é tutto giusto qui, i tuoi passaggi sono corretti, alla fine ottieni che $P_{2n}$ si comporta asintoticamente come $\frac{1}{n^{3/2}}$ che é quello che ti serve.

Bene grazie mille, credevo di sbagliare qualcosa!