Passeggiata aleatoria senza drift
Salve a tutti, sono nuovo nel forum 
Mi sono imbattuto nello studio di questo cammino aleatorio:
$Y_t=Y_{t-1}+u_t$, con $t\in\mathbb{N}$, $Y_0$ dato e $u_t$ normali indipendenti $(0,sigma_u^2)$. Ho calcolato che $E[Y_t]=Y_0$ e $Var(Y_t)=t*sigma_u^2$. A partire dai momenti, mi aspettavo qualitativamente un grafico con oscillazioni sempre più ampie attorno alla retta di equazione $y=Y_0$, invece ottengo quanto riportato in figura (ponendo $Y_0=2$ e facendo 500 iterate):
Potete indicarmi dove sbaglio?
Mi sono imbattuto nello studio di questo cammino aleatorio:
$Y_t=Y_{t-1}+u_t$, con $t\in\mathbb{N}$, $Y_0$ dato e $u_t$ normali indipendenti $(0,sigma_u^2)$. Ho calcolato che $E[Y_t]=Y_0$ e $Var(Y_t)=t*sigma_u^2$. A partire dai momenti, mi aspettavo qualitativamente un grafico con oscillazioni sempre più ampie attorno alla retta di equazione $y=Y_0$, invece ottengo quanto riportato in figura (ponendo $Y_0=2$ e facendo 500 iterate):
Potete indicarmi dove sbaglio?
Risposte
Non credo tu abbia sbagliato. E' vero che la media è 2, ma la varianza diverge nel tempo. Se calcoli la prob che [tex]|Y_t-Y_0|<\epsilon[/tex], dovresti trovare una quantità piccola, che diminuisce con [tex]\epsilon[/tex] e con il tempo.
Scusa, ma non mi è ancora chiaro.
Dall'equazione $Y_t=Y_{t-1}+u_t$ si trova immediatamente che $Y_t=Y_0+sum_{i=1}^t u_i$. Ora, per le proprietà delle variabili normali, ho che $Y_t$ è distribuita come $N(2;t*sigma_u^2)$. Quindi, facendo riferimento all'esempio che ho riportato sopra, ho plottato $Y_1,...,Y_500$, ottenendo effettivamente un grafico che oscilla sempre di più attorno a $y=2$.
Dove sta la magagna?
Dall'equazione $Y_t=Y_{t-1}+u_t$ si trova immediatamente che $Y_t=Y_0+sum_{i=1}^t u_i$. Ora, per le proprietà delle variabili normali, ho che $Y_t$ è distribuita come $N(2;t*sigma_u^2)$. Quindi, facendo riferimento all'esempio che ho riportato sopra, ho plottato $Y_1,...,Y_500$, ottenendo effettivamente un grafico che oscilla sempre di più attorno a $y=2$.
Dove sta la magagna?
"PincoPallino87":
Dove sta la magagna?
Da nessuna parte, è tutto corretto, come già detto prima.
Ma se uso due punti di vista diversi per lo stesso processo stocastico, dovrei ottenere qualitativamente lo stesso comportamento 
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