Passeggiata aleatoria
Salve a tutti!
Ho una passeggiata aleaoria sugli interi $\mathbb{Z}$:
Un individuo che si trova nello stato iniziale $0$ ad ogni passo ha probabilità $p$ di andare a destra e probabilità $1-p$ di andare a sinistra.
Sia $X_k$ la v.a. che mi dice la posizione dell individuo al tempo $k\in\mathbb{N}$.
E' possibile trovare una formula generica che mi dia la distribuzione di $X_k$?
Cioè posso calcolare la probabilità di transizione in $k$ passi ovvero $P(X_k=j|X_0=0)$ per $j\in\mathbb{Z}$?
Ho provato usando le equazioni di Chapman-Kolmogorov (cioè moltiplicando la matrice di transizione a un passo $k$ volte per se stessa) però essendo lo spazio degli stati $\mathbb{Z}$ non è per niente facile.
Ho provato considerando la successione di v.a. i.i.d. $S_1,S_2,\ldots,S_k$ dove $S_i$ vale $1$ con probabilità $p$ e $-1$ con probabilità $1-p$ e scrivendomi poi $X_k=\sum_{i=1}^kS_i$ ma non so andare avanti per calcolarmi la distribuzione.
Qualcuno sa se c'è un modo per farlo?
Ho una passeggiata aleaoria sugli interi $\mathbb{Z}$:
Un individuo che si trova nello stato iniziale $0$ ad ogni passo ha probabilità $p$ di andare a destra e probabilità $1-p$ di andare a sinistra.
Sia $X_k$ la v.a. che mi dice la posizione dell individuo al tempo $k\in\mathbb{N}$.
E' possibile trovare una formula generica che mi dia la distribuzione di $X_k$?
Cioè posso calcolare la probabilità di transizione in $k$ passi ovvero $P(X_k=j|X_0=0)$ per $j\in\mathbb{Z}$?
Ho provato usando le equazioni di Chapman-Kolmogorov (cioè moltiplicando la matrice di transizione a un passo $k$ volte per se stessa) però essendo lo spazio degli stati $\mathbb{Z}$ non è per niente facile.
Ho provato considerando la successione di v.a. i.i.d. $S_1,S_2,\ldots,S_k$ dove $S_i$ vale $1$ con probabilità $p$ e $-1$ con probabilità $1-p$ e scrivendomi poi $X_k=\sum_{i=1}^kS_i$ ma non so andare avanti per calcolarmi la distribuzione.
Qualcuno sa se c'è un modo per farlo?
Risposte
È una binomiale di sui valori -n, -n+2,...,n-2,n. Se vuoi scriverla rispetto alla binomiale diciamo ordinaria hai che
$X_n= -n+2B$.
$X_n= -n+2B$.
Grazie della risposta però non ho capito bene che significa.
Ho capito che se $k$ è pari e $j$ è dispari ho che $P(X_k=j|X_0=0)=0$ (stessa cosa quando $k$ è dispari e $j$ è pari)
Però se $k$ e $j$ sono etrambi pari ( o entrambi dispari)?
Che significa $X_n=-n+2B$?
Ho capito che se $k$ è pari e $j$ è dispari ho che $P(X_k=j|X_0=0)=0$ (stessa cosa quando $k$ è dispari e $j$ è pari)
Però se $k$ e $j$ sono etrambi pari ( o entrambi dispari)?
Che significa $X_n=-n+2B$?
Intendo che la v.a. $X_n$ è distribuita come $-n+2B$ dove B è una binomiale di pamrametri n e p.
Ti è chiaro?
Ti è chiaro?
Grazie! Provo a vedere se ho capito:
$X_k=-k+2B$ dove $B$ è una binomiale di parametri $k$ e $p$.
Quindi $P(X_k=j|X_0=0)=P(-k+2B=j)=P(B=\frac{j+k}{2})=\frac{k!}{(\frac{j+k}{2})!(k-\frac{j+k}{2})!}p^{(\frac{j+k}{2})}(1-p)^{(k-\frac{j+k}{2})}$
Ma per fare questo io ho bisogno che $\frac{j+k}{2}$ sia in $\mathbb{N}$, quindi definisco quella probabilità lì solo quando $k$ e $j$ sono entrambi pari ( o entrambi dispari) e negli altri casi dico che è uguale a $0$?
Ti chiedo anche un'altra cosa, sai per caso su quale libro posso trovare questo argomento della probabilità di transizione in k passi in una passeggiata aleatoria?
Grazie ancora per l'aiuto.
$X_k=-k+2B$ dove $B$ è una binomiale di parametri $k$ e $p$.
Quindi $P(X_k=j|X_0=0)=P(-k+2B=j)=P(B=\frac{j+k}{2})=\frac{k!}{(\frac{j+k}{2})!(k-\frac{j+k}{2})!}p^{(\frac{j+k}{2})}(1-p)^{(k-\frac{j+k}{2})}$
Ma per fare questo io ho bisogno che $\frac{j+k}{2}$ sia in $\mathbb{N}$, quindi definisco quella probabilità lì solo quando $k$ e $j$ sono entrambi pari ( o entrambi dispari) e negli altri casi dico che è uguale a $0$?
Ti chiedo anche un'altra cosa, sai per caso su quale libro posso trovare questo argomento della probabilità di transizione in k passi in una passeggiata aleatoria?
Grazie ancora per l'aiuto.
Perfetto. Quando hai $(j+k)/2$, hai che quella probabilità è non nulla quando quella quantità è uguale a 0,1,2,...,k e questo accade per j=-k,-k+2,...,k-2,k.
Ok grazie mille! Sei stato gentilissimo!
Prego.
Prova a dimostrare il perchè.
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