Passaggio di dimostrazione
Sto studiando una dimostrazione e ho due domande (la seconda forse l'ho risolta):
1)Se ho un processo $X=\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ progressivamente misurabile perchè posso concludere che il processo $\{\int_0^t X_u^2du\}_{t\in[0,T]}$ è un processo adattato?
2) Se ho sempre il mio processo $X=\{X_t\}_{t\in[0,t]}$ progressivamente misurabile e $\tau_n$ un tempo d'arresto. Definisco il processo $X_t^{(n)}=X_t\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(t)$ posso concludere che il processo $\{X_t^{(n)}\}_{t\in[0,t]}$ è progressivamente misurabile perchè:
$X=\{X_t\}_{t\in[0,t]}$ è progressivamente misurabile per ipotesi
$\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(t)$ è progressivamente misurabile (perchè continuo a destra e adattato)
il prodotto di processi progressivamente misurabili dovrebbe essere progressivamente misurabile (quest'ultimo fatto dovrebbe essere conseguenza della definizione di progressivamente misurabile e del fatto che il prodotto di funzioni misurabili è misurabile). Giusto?
Grazie a tutti
1)Se ho un processo $X=\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ progressivamente misurabile perchè posso concludere che il processo $\{\int_0^t X_u^2du\}_{t\in[0,T]}$ è un processo adattato?
2) Se ho sempre il mio processo $X=\{X_t\}_{t\in[0,t]}$ progressivamente misurabile e $\tau_n$ un tempo d'arresto. Definisco il processo $X_t^{(n)}=X_t\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(t)$ posso concludere che il processo $\{X_t^{(n)}\}_{t\in[0,t]}$ è progressivamente misurabile perchè:
$X=\{X_t\}_{t\in[0,t]}$ è progressivamente misurabile per ipotesi
$\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(t)$ è progressivamente misurabile (perchè continuo a destra e adattato)
il prodotto di processi progressivamente misurabili dovrebbe essere progressivamente misurabile (quest'ultimo fatto dovrebbe essere conseguenza della definizione di progressivamente misurabile e del fatto che il prodotto di funzioni misurabili è misurabile). Giusto?
Grazie a tutti
Risposte
1) fubini?... pensa comunque alla definizione di progressivamente misurabile e cosa vuol dire essere adattato...
2) a prima vista direi di si...
2) a prima vista direi di si...
effettivamente se $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ è un processo progressivamente misurabile anche $\{X_t^2\}_{t\in[0,T]}$ sarà un processo progressivamente misurabile.
Ma allora ($\forall t$ fissato) l'applicazione $\omega\toX_t^2(\omega)$ è $\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi (per Fubini) anche $\int_0^t X_u^2du$ è
$\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi posso concludere che $\{\int_0^t X_u^2du\}_{t\in[0,T]}$ è un processo adatto. Giusto?
Grazie mille!!!
Ma allora ($\forall t$ fissato) l'applicazione $\omega\toX_t^2(\omega)$ è $\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi (per Fubini) anche $\int_0^t X_u^2du$ è
$\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi posso concludere che $\{\int_0^t X_u^2du\}_{t\in[0,T]}$ è un processo adatto. Giusto?
Grazie mille!!!
"stelladinatale":
effettivamente se $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ è un processo progressivamente misurabile anche $\{X_t^2\}_{t\in[0,T]}$ sarà un processo progressivamente misurabile.
Ma allora ($\forall t$ fissato) l'applicazione $\omega\toX_t^2(\omega)$ è $\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi (per Fubini) anche $\int_0^t X_u^2du$ è
$\mathcal{F}_t$ misurabile e quindi posso concludere che $\{\int_0^t X_u^2du\}_{t\in[0,T]}$ è un processo adatto. Giusto?
Grazie mille!!!
In verità la progressiva misurabilità di dice molto di più, ti da anche la misurabilità su $[0,t]$, che ti serve per definire bene l'integrale. La conclusione è giusta.
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