Passaggio della dimostrazione dell'Optional Sampling Theorem

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti! Sto studiando l'Optional Sampling Theroem,che mi dice che un processo stocastico ${X_n}$ ,che per ipotesi è una martingala, visto ad un tempo d'arresto $ {\tau_n} $ è ancora una (sub-iper)martingala . In particolare mi sono soffermata su un pezzo della dimostrazione che mi è rimasta difficile da capire...posto qui di seguito il pezzo che non capisco :

"Occorre dimostrare che $\int_(A) X_(\tau_(n+1) )\dP = \int_(A) X_(\tau_n)\dP ,\forall A \in F $ dove$ F $ è la $\sigma$-algebra generata da ${X_(\tau_1)....X_(\tau_n)} $.
Sia $ A=\bigcup_j D_j $ dove $ D_j=A\cap {\tau_n=j} $,quindi l'uguaglianza iniziale basta dimostrarla $\forall D_j $:
$\int_(D_j) X_(\tau_(n+1) )\dP = \int_(D_j) X_(\tau_n)\dP $ ; prendendo $ N>j$ arbitrario e sapendo che la successione dei tempi d'arresto ${\tau_n} $ è crescente, scrivo il primo membro come (ED è PROPRIO QUESTO CHE NON CAPISCO )
$\int_(D_j) X_(\tau_(n+1) )\dP = \sum_{i=j}^N { \int_{D_j \cap {\tau_(n+1)=i} } X_(\tau_(n+1))\dP+ \int_{D_j \cap {\tau_(n+1)>N} } X_(\tau_(n+1))\dP } $...Non capisco perchè $ D_j = \bigcup_(i=j)^N {D_j \cap {\tau_(n+1)=i}\cup{ D_j \cap {\tau_(n+1)>N} $,potreste perfavore spiegarmelo? Grazie.

[frapippo1]

Come hai scritto giustamente alla fine:

"marge45": $ D_j = \bigcup_(i=j)^N {D_j \cap {\tau_(n+1)=i}\cup{ D_j \cap {\tau_(n+1)>N} $,potreste perfavore spiegarmelo? Grazie.

stai cercando di riesprimere $D_j$. Pensa a $D_j$ come ad una torta, scomposta in tanti pezzettini (attraverso intersezioni), che poi riunisci (attraverso unioni), tonando alla torta di partenza ( $D_j$).
Bene, $tau_n$ è una funzione avente per dominio, diciamo, $\Omega$ e per codominio l'insieme dei naturali e $ {\tau_n=j}$ sta per ${\omegain\Omega:tau_n(\omega)=j}$.
${tau_n}_{n>=1}$ è una successione crescente (o, meglio, non decrescente di tempi di arresto), per cui gli insiemi ${tau_n=j}$ e ${tau_{n+1}=k}$, dove $k Considera la partizione (cioè una collezione di insiemi disgiunti di $Omega$, la cui unione è $Omega$ stesso) ${tau_{n+1}=0},{tau_{n+1}=1},{tau_{n+1}=2},...,{tau_{n+1}=N},{tau_{n+1}>N}$.
Taglia ora la torta $D_j$ nei seguenti pezzettini: $D_jnn{tau_{n+1}=0},D_jnn{tau_{n+1}=1},D_jnn{tau_{n+1}=2},..,D_jnn{tau_{n+1}=N},D_jnn{tau_{n+1}>N}$; la loro unione è ancora, ovviamente, $D_j$.
Per tua definizione, $D_j=Ann{tau_n=j}$, cosicché $D_jnn{tau_{n+1}=k}=Ann{tau_{n}=j}nn{tau_{n+1}=k}$,$k Da qui, segue il tuo risultato.
Spero di essere stato chiaro.

[DajeForte]

@marge45: potresti scrivere la statement del teorema che vuoi dimostrare? Non riesco bene a capire a quale pezzo del OST ti stia riferendo. Ad esempio mi risulta strano che ci sia una successione di tempi di arresto.

O meglio: non è per caso che si considera un tempo di arresto $tau$ ed quelli che definisci te siano $tau_n=(tau wedge n)=\min{tau,n}$?

[Sk_Anonymous]

@Frapippo : grazie,penso di aver capito...ora mi è un pò più chiaro

@Dajeforte : l'enunciato del teorema che abbiamo utilizzato è il seguente : "Sia $ {X_n} $ una martingala e sia $ {\tau_n}_n $ una successione crescente di tempi d'arresto t.c $ P(\tau_n < \infty }=1 , \forall n $ ; sia $ Y_n=X_(\tau_n) $ ,se $ E(|X_(\tau_n)|)<\infty , \forall n$ e $ lim_{N\to\infty } \int_{\tau_n >N } X_N dP = 0 $ allora $X_(\tau_n) $ è una martingala ".