Passaggio da differenziale sotto $QQ$ a differenziale gaussiano
Buon pomeriggio ragazzi, riguardando un po' di cose ho difficoltà a capire il perchè di un passaggio in una dimostrazione.
Io ho una funzione in due variabili $ F(t,S_t)$ dove $t$ è il tempo e $S_t$ è una v.a. continua funzione del tempo e con distribuzione log-normale (e dunque supporto $[0,+\infty]$). Assumendo sia noto il valore di $F$ ad un tempo "finale" $T$ applico Feynman-Kac e ottengo $ F(t,S_t)=e^(-r(T-t))E^(QQ)[F(T,S_T)|F_t] $, con $QQ~P$ misura di probabilità equivalente sotto cui $ S_t $ è martingala definita sullo spazio filtrato ${F_t}_(t>=0)$. Ora, siccome $F$ è continua e definita in $RR^+$ avrò $ F(t,x)=e^(-r(T-t))\int_(RR^+)F(t,x)dQQs $. Bene: supponendo a questo punto di definire $S_T$ come funzione di un processo di Wiener con $z$ Normale Standard, qual'è la ragione per cui la misura di martingala $QQ$ viene tolta dal differenziale e si pone al suo posto $phi(z)dz$ (con $phi(z)$ la densità di $z$)?
Io ho una funzione in due variabili $ F(t,S_t)$ dove $t$ è il tempo e $S_t$ è una v.a. continua funzione del tempo e con distribuzione log-normale (e dunque supporto $[0,+\infty]$). Assumendo sia noto il valore di $F$ ad un tempo "finale" $T$ applico Feynman-Kac e ottengo $ F(t,S_t)=e^(-r(T-t))E^(QQ)[F(T,S_T)|F_t] $, con $QQ~P$ misura di probabilità equivalente sotto cui $ S_t $ è martingala definita sullo spazio filtrato ${F_t}_(t>=0)$. Ora, siccome $F$ è continua e definita in $RR^+$ avrò $ F(t,x)=e^(-r(T-t))\int_(RR^+)F(t,x)dQQs $. Bene: supponendo a questo punto di definire $S_T$ come funzione di un processo di Wiener con $z$ Normale Standard, qual'è la ragione per cui la misura di martingala $QQ$ viene tolta dal differenziale e si pone al suo posto $phi(z)dz$ (con $phi(z)$ la densità di $z$)?
Risposte
Vediamo se ho capito. Tu vuoi arrivare al risultato di B-S partendo dalla valutazione neutrale al rischio vero?
In primis attento alla notazione, spesso confondi $s$ con $x$, inoltre il supporto della distribuzione di $S$ non è chiuso (altro refuso); ma queste sono sciocchezze.
Hai fatto un po' di confusione, ripartiamo dall'inizio. Non hai la misura di martingala perché "costruisci" $F(t,s)$ a partire dalla dinamica di $s$ già sotto $QQ$.
Dunque, noi sappiamo che alla base del modello si rende necessario definire i processi seguiti da $B$ e cioè un bond che rende il tasso risk-free:
e di uno strumento sottostante, $s$ che segue un processo di Ito definito come segue:
Come giustamente sai il prezzo di un portafoglio composto da $B$ ed $s$ è pari a \(\displaystyle F(t,S(t)) \) che è la soluzione della seguente PDE:
Il valore di $F(T, s)$ (il derivato) è pari a \(\displaystyle \phi (s) \) (uguale al valore della replica (\(\displaystyle \Pi \))).
formalmente, si ha che:
Alla luce di questo, il prezzo di \(\displaystyle \phi (S(T)) \) è dato da:
come hai scritto tu; la dinamica generica sotto $Q$ di $S$ è data da:
ed:
Sfruttando le proprietà del moto browniano geometrico possiamo scrivere $S(T)$ in maniera esplicita come:
A questo punto abbiamo ottenuto esplicitamente anche $F(t,s)$:
Evidentemente $f(*)$ è la densità di una v.c., $Z$ tale che:
Tutto chiaro?
Se vuoi esercitarti prova a trovare $F(t,s)$ quando $\phi (*)$ vale $\phi(s)=max[se^{z}-K, 0]$ (cioè\(\displaystyle E^{Q}_{t,s}[max(se^{z}-K, 0)] \))...dovresti riconoscere subito di cosa si tratta e sapere già quale sarà il risultato.
buono studio!
In primis attento alla notazione, spesso confondi $s$ con $x$, inoltre il supporto della distribuzione di $S$ non è chiuso (altro refuso); ma queste sono sciocchezze.
Hai fatto un po' di confusione, ripartiamo dall'inizio. Non hai la misura di martingala perché "costruisci" $F(t,s)$ a partire dalla dinamica di $s$ già sotto $QQ$.
Dunque, noi sappiamo che alla base del modello si rende necessario definire i processi seguiti da $B$ e cioè un bond che rende il tasso risk-free:
\(\displaystyle dB(t)=rB(t)dt \)
e di uno strumento sottostante, $s$ che segue un processo di Ito definito come segue:
\(\displaystyle dS(t)=\alpha S(t)dt+\sigma S(t)dW(t) \)
Come giustamente sai il prezzo di un portafoglio composto da $B$ ed $s$ è pari a \(\displaystyle F(t,S(t)) \) che è la soluzione della seguente PDE:
$\frac{\partial^{}F(t,s)}{\partial t}+rs\frac{\partial^{}F(t,s)}{\partial s}+ (1)/(2)\sigma^2 s^2\frac{\partial^(\ 2)F(t,s)}{\partial s^2}=rF(t,s)$
Il valore di $F(T, s)$ (il derivato) è pari a \(\displaystyle \phi (s) \) (uguale al valore della replica (\(\displaystyle \Pi \))).
formalmente, si ha che:
\(\displaystyle F(T, s)=\phi(s) \)
Alla luce di questo, il prezzo di \(\displaystyle \phi (S(T)) \) è dato da:
\(\displaystyle F(t,s)=e^{-r(T-t)}E^{Q}_{t,s}[\phi (S(T))] \)
come hai scritto tu; la dinamica generica sotto $Q$ di $S$ è data da:
\(\displaystyle dS(u)=rS(u)du+\sigma S(u)dW(u) \)
ed:
\(\displaystyle S(t)=s \)
Sfruttando le proprietà del moto browniano geometrico possiamo scrivere $S(T)$ in maniera esplicita come:
$S(T)=s exp{(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)+\sigma(W(T)-W(t))}$
.A questo punto abbiamo ottenuto esplicitamente anche $F(t,s)$:
\(\displaystyle F(t, s)=e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(se^{Z})f(z), dz \)
Evidentemente $f(*)$ è la densità di una v.c., $Z$ tale che:
$ Z \ ~ \mathcal{N} [(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t), \sigma \sqrt{(T-t)}] $
. Tutto chiaro?
Se vuoi esercitarti prova a trovare $F(t,s)$ quando $\phi (*)$ vale $\phi(s)=max[se^{z}-K, 0]$ (cioè\(\displaystyle E^{Q}_{t,s}[max(se^{z}-K, 0)] \))...dovresti riconoscere subito di cosa si tratta e sapere già quale sarà il risultato.
buono studio!
"Gughigt":
Vediamo se ho capito. Tu vuoi arrivare al risultato di B-S partendo dalla valutazione neutrale al rischio vero?
In primis attento alla notazione, spesso confondi $s$ con $x$, inoltre il supporto della distribuzione di $S$ non è chiuso (altro refuso); ma queste sono sciocchezze.
Hai fatto un po' di confusione, ripartiamo dall'inizio. Non hai la misura di martingala perché "costruisci" $F(t,s)$ a partire dalla dinamica di $s$ già sotto $QQ$.
Dunque, noi sappiamo che alla base del modello si rende necessario definire i processi seguiti da $B$ e cioè un bond che rende il tasso risk-free:
\(\displaystyle dB(t)=rB(t)dt \)
e di uno strumento sottostante, $s$ che segue un processo di Ito definito come segue:
\(\displaystyle dS(t)=\alpha S(t)dt+\sigma S(t)dW(t) \)
Come giustamente sai il prezzo di un portafoglio composto da $B$ ed $s$ è pari a \(\displaystyle F(t,S(t)) \) che è la soluzione della seguente PDE:
$\frac{\partial^{}F(t,s)}{\partial t}+rs\frac{\partial^{}F(t,s)}{\partial s}+ (1)/(2)\sigma^2 s^2\frac{\partial^(\ 2)F(t,s)}{\partial s^2}=rF(t,s)$
Il valore di $F(T, s)$ (il derivato) è pari a \(\displaystyle \phi (s) \) (uguale al valore della replica (\(\displaystyle \Pi \))).
formalmente, si ha che:
\(\displaystyle F(T, s)=\phi(s) \)
Alla luce di questo, il prezzo di \(\displaystyle \phi (S(T)) \) è dato da:
\(\displaystyle F(t,s)=e^{-r(T-t)}E^{Q}_{t,s}[\phi (S(T))] \)
come hai scritto tu; la dinamica generica sotto $Q$ di $S$ è data da:
\(\displaystyle dS(u)=rS(u)du+\sigma S(u)dW(u) \)
ed:
\(\displaystyle S(t)=s \)
Sfruttando le proprietà del moto browniano geometrico possiamo scrivere $S(T)$ in maniera esplicita come:
$S(T)=s exp{(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)+\sigma(W(T)-W(t))}$.
A questo punto abbiamo ottenuto esplicitamente anche $F(t,s)$:
\(\displaystyle F(t, s)=e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(se^{Z})f(z), dz \)
Evidentemente $f(*)$ è la densità di una v.c., $Z$ tale che:
$ Z \ ~ \mathcal{N} [(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t), \sigma \sqrt{(T-t)}] $.
Tutto chiaro?
Se vuoi esercitarti prova a trovare $F(t,s)$ quando $\phi (*)$ vale $\phi(s)=max[se^{z}-K, 0]$ (cioè\(\displaystyle E^{Q}_{t,s}[max(se^{z}-K, 0)] \))...dovresti riconoscere subito di cosa si tratta e sapere già quale sarà il risultato.
buono studio!
Grazie mille per la risposta Gughigt! Hai colto nel pieno l'obiettivo! Anzi, finisco solo ora per ringraziarti perché abituato a non ricevere molte risposte in questa sezione del forum avevo quasi dato per scontato che la mia domanda fosse rimasta inevasa. In ogni caso il dubbio nasceva proprio da quanto hai specificato all'inizio del post, vale a dire che il prezzo è già di per sé $QQ$-martingala. Infatti, per il Primo Teorema Fondamentale della Teoria dei Prezzi di Arbitraggio la non esistenza di arbitraggi implica l'esistenza di almeno una misura di martingala equivalente definita sotto la misura neutrale al rischio tale che $ P_t^((k))=E^(QQ)[e^(-\int_(t)^(T)(r_s-D_s^((k)))ds)P_t^((k))|F_t] $. Ovviamente, operando sotto B&S dove il portafoglio replicante contiene un unico titolo rischioso, il prezzo $P_t^((k))$ che definisce il prezzo del $k$ asset rischioso detenuto in portafoglio coinciderà proprio con il nostro $S$ che, di conseguenza, sarà per definizione una martingala già sotto $QQ$. Ne consegue che anche il derivato, che è funzione del sottostante, sarà anch'esso una $QQ$-martingala.
Sono contento di averti aiutato.
Attento qui, in realtà il prezzo non è moltiplicato per l'integrale del tasso ma per tutto il fattore stocastico:
Che è il prezzo del portafoglio di replica uguale al prezzo del derivato.
Inoltre, in questo caso, $QQ$ è una misura di martingala non necessariamente unica con la valuta del sottostante come numerario.
(non ho messo il dividendo per snellire la notazione).
per curiosità che manuale utilizzi?
"mobley":
$ P_t^((k))=E^(QQ)[e^(-\int_(t)^(T)(r_s-D_s^((k)))dsP_t^((k)))|F_t] $
Attento qui, in realtà il prezzo non è moltiplicato per l'integrale del tasso ma per tutto il fattore stocastico:
$ \Pi(t, X)=E^(QQ)[e^(-\int_(t)^(T)r(s) ds )X|\mathcal(F)_t]$
Che è il prezzo del portafoglio di replica uguale al prezzo del derivato.
Inoltre, in questo caso, $QQ$ è una misura di martingala non necessariamente unica con la valuta del sottostante come numerario.
(non ho messo il dividendo per snellire la notazione).
per curiosità che manuale utilizzi?
"Gughigt":
Sono contento di averti aiutato.
[quote="mobley"]
$ P_t^((k))=E^(QQ)[e^(-\int_(t)^(T)(r_s-D_s^((k)))dsP_t^((k)))|F_t] $
Attento qui, in realtà il prezzo non è moltiplicato per l'integrale del tasso ma per tutto il fattore stocastico:
$ \Pi(t, X)=E^(QQ)[e^(-\int_(t)^(T)r(s) ds )X|\mathcal(F)_t]$
Che è il prezzo del portafoglio di replica uguale al prezzo del derivato.
Inoltre, in questo caso, $QQ$ è una misura di martingala non necessariamente unica con la valuta del sottostante come numerario.
(non ho messo il dividendo per snellire la notazione).
per curiosità che manuale utilizzi?[/quote]
Certo, ho sbagliato a scrivere la formula in Latex
Provvedo a correggere.E per quanto riguarda l'unicità della $QQ$-martingala B$S non stabiliscono nulla circa l'eventuale sussistenza di mercati completi, quindi l'unica assunzione per la non esistenza di arbitraggi non può che essere la perfezione del mercato (ovvero l'esistenza di almeno una $QQ$ martingala non necessariamente unica).
Grazie mille ancora!
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