Partizione di n eventi non trascurabili
Nella dimostrazione di un teorema ho letto che, dato uno spazio probabilizzato $(\Omega,\mathcal{F},P)$, per ogni $n\in NN$ esiste una partizione di $n$ eventi non trascurabili.
La cosa mi sembra ovvia... Ma come si dimostra?
Intanto c'è da chiedersi quando non vale, infatti se per esempio $\Omega$ è formato da $n-1$ elementi, vedrai che non è vero...
Il contesto è quello di spazi non atomici, quindi direi che il caso discreto lo si possa ignorare... Ma serve l'ipotesi di spazio non atomico?
La cosa mi sembra ovvia... Ma come si dimostra?
Intanto c'è da chiedersi quando non vale, infatti se per esempio $\Omega$ è formato da $n-1$ elementi, vedrai che non è vero...
Il contesto è quello di spazi non atomici, quindi direi che il caso discreto lo si possa ignorare... Ma serve l'ipotesi di spazio non atomico?
Risposte
Cosa intendi per misura non atomica?
Tu lo sapevi che la tua domanda mi avrebbe fatto trovare la mia risposta, vero? 
In realta' no perche' non avevo mai affrontato la distinzione tra misura atomica e non in un contesto generale (al di fuori di $R$).
Diciamo che questo chiarisce alcuni aspetti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(measure_theory)
Diciamo che questo chiarisce alcuni aspetti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(measure_theory)
Eh, proprio quello che dice la wikipedia: grazie alla definizione di spazio non atomico, si costruisce una successione di eventi non trascurabili $\Omega\supset A_1\supset A_2\supset ...$ tali che $P(A_{i-1})>P(A_i)$ per ogni $i$. Poi si definisce $C_1=\Omega\setminus A_1=A_1^c$, $C_2=A_1\setminus A_2$,..., $C_{n-1}=A_{n-2}\setminus A_{n-1}$, $C_n=A_{n-1}$. Infine si verifica che si tratta di una partizione (direi che lo è "per costruzione") e che tutti i $C_i$ sono non trascurabili ($P(C_i) = P(A_{i-1}\setminus A_i) = P(A_{i-1})-P(A_i)>0$). Ci siamo?
A questo punto si può dire che negli spazi non atomici la partizione si trova per ogni $n$, mentre per gli spazi finiti sicuramente non si trova oltre un certo $n$. E negli altri casi? Nella mia dimostrazione ho usato il fatto che lo spazio sia non atomico...
A questo punto si può dire che negli spazi non atomici la partizione si trova per ogni $n$, mentre per gli spazi finiti sicuramente non si trova oltre un certo $n$. E negli altri casi? Nella mia dimostrazione ho usato il fatto che lo spazio sia non atomico...
Guarda mi pare di capire che il teorema non vale se:
i) $mathcal{A}={A in mathcal{F} | \ A " e' un atomo"}$ ha cardinalita' finita;
ii) $P(bigcup_{A in mathcal{A}} A )=1$.
Verifica se queste condizioni sono necessarie e sufficienti.
i) $mathcal{A}={A in mathcal{F} | \ A " e' un atomo"}$ ha cardinalita' finita;
ii) $P(bigcup_{A in mathcal{A}} A )=1$.
Verifica se queste condizioni sono necessarie e sufficienti.
Bello il link che hai messo daje, non conoscevo questo teoream!
Anyway... alcune domande: cosa succede se si considera $1/2(\Leb_{[0,1]}+\delta_x)$? o in generale $1/n(\Leb_{[0,1]}+\sum_{i=1}^n\delta_{x_i})$, con $x_n\in (0,1)$ (misure di prob. su $[0,1]$)?
In questi casi la partizione esiste ancora in quanto puoi fregartene della parte non atomica.
I problemi esistono se hai una cosa del tipo $(\Leb_{[0,1/2]}+\delta_{1})$ come misura di prob. su $[0,1]$, ma anche qui puoi risolvere la cosa.
Potrebbe essere (magari mi sbaglio, è una congettura) che puoi sempre fare questa decomposizione se (e solo se) la tua misura di probabilità ha almeno una parte non atomica, ovvero può essere divisa in due parti, cioè se vale la scrittura $\mathbb{P}=1/2(\mathbb{P}_1+\mathbb{P}_2)$ dove $\mathbb{P}_1$ è non atomica e $\mathbb{P}_2$ è atomica (EDIT, OSSERVAZIONE: sostanzialemente noto ora che sono le condizione che ti ha scritto Daje).
Anyway... alcune domande: cosa succede se si considera $1/2(\Leb_{[0,1]}+\delta_x)$? o in generale $1/n(\Leb_{[0,1]}+\sum_{i=1}^n\delta_{x_i})$, con $x_n\in (0,1)$ (misure di prob. su $[0,1]$)?
In questi casi la partizione esiste ancora in quanto puoi fregartene della parte non atomica.
I problemi esistono se hai una cosa del tipo $(\Leb_{[0,1/2]}+\delta_{1})$ come misura di prob. su $[0,1]$, ma anche qui puoi risolvere la cosa.
Potrebbe essere (magari mi sbaglio, è una congettura) che puoi sempre fare questa decomposizione se (e solo se) la tua misura di probabilità ha almeno una parte non atomica, ovvero può essere divisa in due parti, cioè se vale la scrittura $\mathbb{P}=1/2(\mathbb{P}_1+\mathbb{P}_2)$ dove $\mathbb{P}_1$ è non atomica e $\mathbb{P}_2$ è atomica (EDIT, OSSERVAZIONE: sostanzialemente noto ora che sono le condizione che ti ha scritto Daje).
A me convince di più l'esistenza di una parte (non trascurabile e) non atomica, come condizione necessaria e sufficiente per avere una partizione per ogni $n$.
La condizione sulla cardinalità non so fino a che punto sia rilevante: cioè, se la probabilità dell'unione di tutti gli atomi è minore di 1, forse non mi interessa quanti sono questi atomi... Mi pare che si evinca anche dal discorso di fu^2, no?
La condizione sulla cardinalità non so fino a che punto sia rilevante: cioè, se la probabilità dell'unione di tutti gli atomi è minore di 1, forse non mi interessa quanti sono questi atomi... Mi pare che si evinca anche dal discorso di fu^2, no?
Il fatto della cardinalita' finita sta nel fatto che: se la cardinalita' e' infinita, la partizione te la generano gli atomi stessi.
Prendi ad esempio: $(Omega = RR, mathcal{F} = mathcal{B}(RR), P)$ tale che $P({n})=e^(-1)/(n!)$ per ogni naturale $n$ (la Poisson),
la riesci a trovare una partizione non trascurabile.
Prendi ad esempio: $(Omega = RR, mathcal{F} = mathcal{B}(RR), P)$ tale che $P({n})=e^(-1)/(n!)$ per ogni naturale $n$ (la Poisson),
la riesci a trovare una partizione non trascurabile.
"DajeForte":
Il fatto della cardinalita' finita sta nel fatto che: se la cardinalita' e' infinita, la partizione te la generano gli atomi stessi.
Mi sa che hai ragione
In realtà le condizioni che ti ho scritto sopra non sembrano essere espresse molto bene, infatti se consideri una $delta_0$ hai che gli insiemi $A_x=[0,x)$ sono tutti atomi, ma la partizione non esiste per $n>=2$.
Dovresti considerare le classi di equivalenza rispetto ad una relazione che ti elimna l'effetto degli insiemi di misura nulli.
Dovresti considerare le classi di equivalenza rispetto ad una relazione che ti elimna l'effetto degli insiemi di misura nulli.
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