Pari e Dispari
Salve ragazzi e buon anno! 
"Due bambini giocano a pari o dispari scegliendo un numero nell'intervallo $[1,5]$ da lanciare contemporaneamente.
Il bimbo $1$ sceglie con egual probabilità un numero nell’intervallo. Il bimbo $2$ invece ama i numeri pari e sceglie un numero pari con probabilità doppia rispetto al caso di numero dispari. Il bimbo $1$ scommette sempre su dispari (ovvero se la somma dei due numeri lanciati dai bimbi contemporaneamente risulta dispari vincerà il bimbo $1$) e il bimbo $2$ sempre su pari (ovvero se la somma dei due numeri lanciati dai bimbi contemporaneamente risulta pari vincerà il bimbo $2$).
1. Calcolare e rappresentare la funzione CDF della variabile aleatoria Y che rappresenta il numero lanciato dal bimbo $2$
2. La probabilità che il numero somma risultante dal lancio simultaneo effettuato dai $2$ bimbi sia dispari
3. La probabilità che il numero somma risultante dal lancio simultaneo effettuato dai $2$ bimbi sia uguale a $4$
4. Calcolare la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $$2, abbia lanciato un numero dispari
5. Calcolare la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $1$, abbia lanciato un numero pari."
n.b. i numeri scelti dai due bambini possono essere uguali, no? nessuno vieta che i due bimbi scelgano lo stesso numero, di conseguenza ogni scelta è indipendente giusto?
Risoluzione
Il bimbo $1$ sceglie i numeri senza alcuna distinzione, per cui ogni numero ha probabilità $1/5$ di essere pescato dal primo bambino. Il secondo bambino preferisce i pari. La probabilità di pescare un numero pari nell'intervallo $[1,5]$ è pari a $2/5$ essendo solo $2$ e $4$ i numeri pari in questo intervallo. Il testo dice che questo bimbo sceglie un numero pari con probabilità doppia rispetto alla scelta dei numeri dispari (che saranno tre con probabilità $3/5$). La probabilità di pescare un numero pari vale dunque $4/5$ mentre vale $1/5$ per i dispari?
$2)$ la probabilità che la somma dei numeri lanciati dai bambini sia dispari è pari a $12/25$?
$3)$ la probabilità che la somma dei numeri lanciati dai bambini sia dispari è pari a $3/25$?
"Due bambini giocano a pari o dispari scegliendo un numero nell'intervallo $[1,5]$ da lanciare contemporaneamente.
Il bimbo $1$ sceglie con egual probabilità un numero nell’intervallo. Il bimbo $2$ invece ama i numeri pari e sceglie un numero pari con probabilità doppia rispetto al caso di numero dispari. Il bimbo $1$ scommette sempre su dispari (ovvero se la somma dei due numeri lanciati dai bimbi contemporaneamente risulta dispari vincerà il bimbo $1$) e il bimbo $2$ sempre su pari (ovvero se la somma dei due numeri lanciati dai bimbi contemporaneamente risulta pari vincerà il bimbo $2$).
1. Calcolare e rappresentare la funzione CDF della variabile aleatoria Y che rappresenta il numero lanciato dal bimbo $2$
2. La probabilità che il numero somma risultante dal lancio simultaneo effettuato dai $2$ bimbi sia dispari
3. La probabilità che il numero somma risultante dal lancio simultaneo effettuato dai $2$ bimbi sia uguale a $4$
4. Calcolare la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $$2, abbia lanciato un numero dispari
5. Calcolare la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $1$, abbia lanciato un numero pari."
n.b. i numeri scelti dai due bambini possono essere uguali, no? nessuno vieta che i due bimbi scelgano lo stesso numero, di conseguenza ogni scelta è indipendente giusto?
Risoluzione
Il bimbo $1$ sceglie i numeri senza alcuna distinzione, per cui ogni numero ha probabilità $1/5$ di essere pescato dal primo bambino. Il secondo bambino preferisce i pari. La probabilità di pescare un numero pari nell'intervallo $[1,5]$ è pari a $2/5$ essendo solo $2$ e $4$ i numeri pari in questo intervallo. Il testo dice che questo bimbo sceglie un numero pari con probabilità doppia rispetto alla scelta dei numeri dispari (che saranno tre con probabilità $3/5$). La probabilità di pescare un numero pari vale dunque $4/5$ mentre vale $1/5$ per i dispari?
$2)$ la probabilità che la somma dei numeri lanciati dai bambini sia dispari è pari a $12/25$?
$3)$ la probabilità che la somma dei numeri lanciati dai bambini sia dispari è pari a $3/25$?
Risposte
"arnett":
deve risultare $\mathbb{P}("2 sceglie pari")=2/3$ e $\mathbb{P}("2 sceglie dispari")=1/3$.
devo ridurre lo spazio campione considerando solo i dispari (quindi $1/3$ di probabilità di pescare un dispari nell'insieme $1,3,5$?)
le cose infatti non mi quadravano.
$4)$ la probabilità che, dato per certo che abbia vinto il secondo bambino, egli abbia lanciato un numero dispari vale $7/13$?
Restringendo lo spazio campione ai casi in cui il secondo bambino abbia lanciato solo numeri dispari, si avranno a meno di errori di calcolo $13$ casi possibili con $7$ favorevoli.
$5)$ la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $1$, egli abbia lanciato un numero pari vale $6/12$?
$4)$ la probabilità che, dato per certo che abbia vinto il secondo bambino, egli abbia lanciato un numero dispari vale $7/13$?
Restringendo lo spazio campione ai casi in cui il secondo bambino abbia lanciato solo numeri dispari, si avranno a meno di errori di calcolo $13$ casi possibili con $7$ favorevoli.
$5)$ la probabilità che dato per certo che abbia vinto il bimbo $1$, egli abbia lanciato un numero pari vale $6/12$?
Fosse mai giusto un esercizio che faccio a primo colpo.. mannaggia a chi dico io! ho semplicemente costruito una tabella con tutti i possibili numeri che possono uscire con due colonne (una per bimbo). Una cosa del tipo
e poi mi sono limitato a restringere il campo a seconda dei casi in esame (somma dei numeri pari, somma dei numeri dispari, bimbo 1 con numeri pari ecc).
Credevo si potesse risolvere così.
EDIT: Forse questo ragionamento sarebbe andato bene se anche il bimbo 2 avesse scelto i numeri con eguale probabilità, ma prediligendo i pari le cose non sono più così. Quindi dimentichiamo tutto e ricominciamo da capo. Che poi ne abbiamo parlato per mezz'ora ( si fa per dire) del fatto che il bimbo 2 scelga i numeri diversamente, quindi da dove avrò tirato fuori sta tabella dico io.. a volte credo di essere stupido..
| Bimbo 1 | Bimbo 2 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 1 | 3 |
| 4 | 1 |
| 2 | 1 |
| 2 | ... |
e poi mi sono limitato a restringere il campo a seconda dei casi in esame (somma dei numeri pari, somma dei numeri dispari, bimbo 1 con numeri pari ecc).
Credevo si potesse risolvere così.
EDIT: Forse questo ragionamento sarebbe andato bene se anche il bimbo 2 avesse scelto i numeri con eguale probabilità, ma prediligendo i pari le cose non sono più così. Quindi dimentichiamo tutto e ricominciamo da capo. Che poi ne abbiamo parlato per mezz'ora ( si fa per dire) del fatto che il bimbo 2 scelga i numeri diversamente, quindi da dove avrò tirato fuori sta tabella dico io.. a volte credo di essere stupido..
per fare quattro deve verificarsi questo:
La scelta dei numeri per i bambini è indipendente (cioè il fatto che B1 scelga dispari non influenza la scelta di B2) pertanto andiamo a moltiplicare. Sommiamo perchè poi gli eventi sono incompatibili ( nel senso che può uscire $2,2$ o $1,3$ o $3,1$).
Si ha pertanto $1/5 * 1/3 + 1/5 * 2/3 + 1/5 * 1/3 = 4/15$ ?
| Bimbo 1 | Bimbo 2 |
|---|---|
| 3 | 2 |
La scelta dei numeri per i bambini è indipendente (cioè il fatto che B1 scelga dispari non influenza la scelta di B2) pertanto andiamo a moltiplicare. Sommiamo perchè poi gli eventi sono incompatibili ( nel senso che può uscire $2,2$ o $1,3$ o $3,1$).
Si ha pertanto $1/5 * 1/3 + 1/5 * 2/3 + 1/5 * 1/3 = 4/15$ ?
"arnett":
Il bambino due sceglie un dispari con probabilità $1/3$, non ogni dispari con probabilità $1/3$
vabbuò dai rinuncio. Getto la spugnaC'è qualcosa di cui tenere in conto? Eventi dipendenti o qualche altra cosa che mi sta sfuggendo?
ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato ma proprio non riesco a capire. Il mio cervello è bloccato
Ciao arnett, credo di aver capito dopo aver svolto oggi un esercizio simile con un dado truccato. Vediamo di fare un pò di chiarezza. Dunque, il primo bambino sceglie i numeri in modo casuale senza distinzione alcuna, quindi ogni numero ha probabilità $1/5$ di verificarsi. Il secondo bambino (un pò disgraziato, eh 
) scegli i numeri in modo tale che un numero pari abbia probabilità doppia rispetto ad un numero dispari. Nell'intervallo $[1,5]$ ci sono due pari e tre dispari, per cui la probabilità di pescare un dispari vale $1/3$ essendo tre i dispari, mentre la probabilità di pescare un pari vale, secondo il testo, $2/3$. Questo credo sia chiaro.
Per sapere dunque nel caso del secondo bambino quanto vale la probabilità di pescare un numero basta dividere per $2$ (nel caso dei pari) e per $3$ nel caso dei dispari ottenendo le probabilità da te indicate in quella tabellina colorata. Ecco che ora i conti tornano. Ho provato a risolvere il punto due attraverso la tabella che avevo creato, considerando però le giuste probabilità e il risultato è pari a $8/15$. Non che la tua soluzione non fosse stata chiara per carità, ma volevo avere la conferma del fatto che entrambi i ragionamenti fossero giusti.
Nel punto $3)$, per ottenere un punteggio pari a $4$ bisogna avere le coppie $(1,3)$ o $(2,2)$ o $(3,1)$ :
la probabilità $P("la somma è pari a 4") = 1/5 * 1/9 + 1/5 * 1/3 + 1/5 * 1/9 = 1/9$. Confermi??
) scegli i numeri in modo tale che un numero pari abbia probabilità doppia rispetto ad un numero dispari. Nell'intervallo $[1,5]$ ci sono due pari e tre dispari, per cui la probabilità di pescare un dispari vale $1/3$ essendo tre i dispari, mentre la probabilità di pescare un pari vale, secondo il testo, $2/3$. Questo credo sia chiaro.Per sapere dunque nel caso del secondo bambino quanto vale la probabilità di pescare un numero basta dividere per $2$ (nel caso dei pari) e per $3$ nel caso dei dispari ottenendo le probabilità da te indicate in quella tabellina colorata. Ecco che ora i conti tornano. Ho provato a risolvere il punto due attraverso la tabella che avevo creato, considerando però le giuste probabilità e il risultato è pari a $8/15$. Non che la tua soluzione non fosse stata chiara per carità, ma volevo avere la conferma del fatto che entrambi i ragionamenti fossero giusti.
Nel punto $3)$, per ottenere un punteggio pari a $4$ bisogna avere le coppie $(1,3)$ o $(2,2)$ o $(3,1)$ :
la probabilità $P("la somma è pari a 4") = 1/5 * 1/9 + 1/5 * 1/3 + 1/5 * 1/9 = 1/9$. Confermi??
Punto $4)$
Sia $V_2: {"vittoria del bimbo 2"}$. Il bimbo $2$ vince se la somma dei numeri è pari. Il testo richiede la probabilità che il bimbo abbia lanciato un numero dispari e abbia vinto. Ristretto lo spazio campione ai casi in cui il bimbo $2$ abbia lanciato un dispari e la somma dei numeri sia risultata pari avremo:
$P(D_2|V_2) = P(1,1) + P(1,3) + P(1,5) + P(3,1) + P(3,3) + P(3,5) + P(5,1) + P(5,3) + P(5,5) = 9 * 1/5 * 1/9 = 1/5$.
Punto $5)$
Analogamente, sia $V_1: {"vittoria del bimbo 1"}$. Il bimbo $1$ vince se la somma dei numeri è dipari. Il testo richiede la probabilità che il bimbo $1$ abbia lanciato un numero pari e abbia vinto. Ristretto lo spazio campione ai casi in cui il bimbo $1$ abbia lanciato un pari e la somma dei numeri sia risultata dispari avremo:
$P(P_1|V_1) = P(2,1) + P(2,3) + P(2,5) + P(4,1) + P(4,3) + P(4,5) = 6 * 1/5 * 1/9 = 2/15$.
Sia $V_2: {"vittoria del bimbo 2"}$. Il bimbo $2$ vince se la somma dei numeri è pari. Il testo richiede la probabilità che il bimbo abbia lanciato un numero dispari e abbia vinto. Ristretto lo spazio campione ai casi in cui il bimbo $2$ abbia lanciato un dispari e la somma dei numeri sia risultata pari avremo:
$P(D_2|V_2) = P(1,1) + P(1,3) + P(1,5) + P(3,1) + P(3,3) + P(3,5) + P(5,1) + P(5,3) + P(5,5) = 9 * 1/5 * 1/9 = 1/5$.
Punto $5)$
Analogamente, sia $V_1: {"vittoria del bimbo 1"}$. Il bimbo $1$ vince se la somma dei numeri è dipari. Il testo richiede la probabilità che il bimbo $1$ abbia lanciato un numero pari e abbia vinto. Ristretto lo spazio campione ai casi in cui il bimbo $1$ abbia lanciato un pari e la somma dei numeri sia risultata dispari avremo:
$P(P_1|V_1) = P(2,1) + P(2,3) + P(2,5) + P(4,1) + P(4,3) + P(4,5) = 6 * 1/5 * 1/9 = 2/15$.
"arnett":
Leggi meglio... Chiede esattamente il contrario: la probabilità che il secondo bambino abbia lanciato dispari sapendo che il secondo bambino ha vinto. Che è come dire: la probabilità che il secondo bambino abbia lanciato dispari sapendo che la somma è pari.
E non è quello che ho considerato io?? ho preso tutti i casi in cui la somma sia pari e allo stesso tempo il bimbo $2$ abbia lanciato un numero dispari. Quindi $(1,1), (1,3)...$ ho sbagliato??
"arnett":
Tu hai calcolato la probabilità di una intersezione, invece hai bisogno una probabilità condizionata.
Devi restringere lo spazio campionario ai casi in cui il secondo bambino vince e contare in quanti di questi casi lui lancia dispari.
D'oh. Ok, se la metti su questo piano, allora la probabilità richiesta al punto $4)$ dovrebbe valere $9/13$ ?
In pratica hai applicato la definizione di condizionata. Se, come hai detto tu, io ho sbagliato calcolando l'intersezione (che risulta pari a $1/5$), $P(D_2|V_2) = (P(D_2,V_2))/(P(V_2))$ dove $P(V_2)$ equivale a $1 - P("la somma è dispari")$. Una domanda, dunque: da cosa si capisce che quella da me calcolata erroneamente fosse l'intersezione?
Faccio ancora troppi errori banali.. un esame così non si può affrontare.
Nel frattempo ho calcolato la CDF al punto $1)$.
Risulta una cosa simile a questa:
coi seguenti valori:
$ {( 1/9 if 0
Dovrebbe essere giusta, tutte le probabilità sommano a $1$.
Faccio ancora troppi errori banali.. un esame così non si può affrontare.
Nel frattempo ho calcolato la CDF al punto $1)$.
Risulta una cosa simile a questa:
coi seguenti valori:
$ {( 1/9 if 0
Dovrebbe essere giusta, tutte le probabilità sommano a $1$.
Hai ragione, ho indicato in modo errato gli intervalli.
$ {(0 if 0=5$. Così è corretto?
$ {(0 if 0
La probabilità del punto $5)$ vale allora $2/15 * 15/8 = 1/4 $ ?
Perfetto finalmente! Grazie Arnett
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