Palline: problema non facilissimo :-(

[Giova411]

Sei urne contengono tutte 3 palline rosse e un numero variabile di palline bianche. Precisamente, l'urna i-esima contiene 3 R e i B. Un'urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte, una dopo l'altra, due palline con reinserimento.
1) Qual é la prob che le due palline siano una B e una R?
2) Supponendo che l'estrazione abbia dato come risultato una B e una R, qual é la prob che l'urna prescelta sia la i-esima? E qual é l'urna che ha più prob di essere scelta?
3) Ora si supponga che vi siano 2 urne contenenti entrambe 3R e 6B in modo che le urne totali siano cmq 7. Se l'estrazione ha dato una B ed una R, qual é la prob che l'urna prescelta sia di tipo i? Qual é il valore di i più probabile?

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SOL:
I primi 2 punti credo siano ok
1)
D= colore diverso;

$P(D| E_i) = (6i)/(3+i)^2$

quindi $P(D)=sum_(i=1)^(6) P(D| E_i)P(E_i)= 1/6sum_(i=1)^(6) (6i)/(3+i)^2$


2)

$P(E_i|D)= (P(D| E_i)P(E_i))/(P(D))= 2.18*(i)/(3+i)^2$

Cerco il massimo di $(i)/(3+i)^2$ che è in $i=3$
quindi l'urna 3 ha + prob

3)

Qua son cavoli amari...

Arrivo a trovare:
$P(E_i|D)= (P(D| E_i)P(E_i))/(P(D))= 1.86*(i)/(3+i)^2$
ma mi viene che l'urna 3 è anche in questo caso la + probabile...

Aiutatemi nell'ultimo punto perfavore....

[clrscr]

Ciao, mi sembra che il tuo ragionamento sia giusto.

Anche l'ultima domanda mi sembra corretta, in quanto anche se ci sono due durne con $i=6$ il numero di palline rosse e nere è comunque sbilanciato, dunque non vedo il motivo perchè questo caso dovrebbe essere più favorevole rispetto al caso $i=3$

[Giova411]

Ciao nel risultato il libro mette che l'urna + probabile è la numero 6 (nel punto 3)
Ecco perché ho postato ciò che viene a me...

[antrope]

Una domanda.. l'evento $ E_{i} $ sarebbe?
Domanda 2: il libro che usi qual'è?

[Giova411]

$E_i$ urna numero $i$
Libro di Mario Abundo
Calcolo delle Prob e Statistica

[_luca.barletta]

Nell'ultima domanda per trovare il massimo di $P(E_i|D)$ è sufficiente trovare il max di $P(D|E_i)P(E_i)$, perchè tanto il denominatore è uguale per tutti gli eventi.
Calcoliamo queste prob. per i=3 e i=6 che sono quelle incriminate:
$P(D|E_3)P(E_3)=1/2*1/7~=0.071$
$P(D|E_6)P(E_6)=0.44*2/7~=0.127$

[Giova411]

Ciao SuperLuca!


Come sempre ha ragione il libro...
Ma sbagliavo a calcolare il punto critico di $i/((3+1)^2)$?
Nel primo caso ci azzecco così... Cioé urna 3.
Nell'ultimo cosa cosa c'é che non va, secondo te?


GRAZIE!

[_luca.barletta]

$P(D|E_i)$ l'hai calcolato bene, il problema è che nell'ultimo punto le $P(E_i)$ non sono tutte uguali.

[Giova411]

SI Grazie!
Me l'avevi già fatto notare con quel $2/7$ .... Scusa la mia lentezza...

Grazie 1000 amico mio!