Osservazioni poco chiare sulla distribuzione esponenziale
Salve a tutti,
stavo studiando la distribuzione esponenziale ma ci sono alcune affermazioni che proprio non riesco a motivarmi.
Dunque, supponiamo di avere una v.a $T \sim exp(\lambda) $ (ovvero una variabile T con distribuzione esponenziale);
Secondo le dispense che sto studiando possiamo dire che la variabile T conta il tempo di attesa per ottenere il primo successo. E fin qui tutto ok.
Poi viene scritto che devono inoltre essere rispettate le seguenti due proprietà:
a) La media di arrivi in un intervallo di tempo unitario è $\lambda$ ed è maggiore di 0;
b) Il numero di arrivi in un intervallo arbitrario di tempo $[t_1,t_2]$, che rappresenta come $N(t_1,t_2)$ da distribuzione di poisson con parametro $\lambda *(t_2-t_1)$
Allora l'ipotesi b) credo semplicemente che significhi che il numero di successi contati è un valore discreto che si può rappresentare mediante una distribuzione di poisson.
La a) invece non riesco a capire che cosa significa ne tantomeno per cosa viene utilizzata questa osservazione;
Poi prosegue dicendo che dall'equivalenza:
$T>t hArr$ nell'intervallo [0,t] ci sono zero successi, rappresentabile come $N(0,t) = 0$
e dalla b) segue:
$P(T>t) = P(N(0,t)=0) =$ alla distribuzione di poisson con parametri $\lambda * t$ quando $x=0$ (non sto a riscrivere la formula perchè credo che la conosciate meglio di me) con $t > 0$;
Quel $t>0$ credo dipenda dal fatto che altrimenti il parametro della poisson sarebbe negativo, e da quello che abbiamo scritto sopra il parametro invece deve essere un numero positivo (anche perchè dalla definizione che ho della poisson pare che sia definità solo per parametri >0).
Poi fa un osservazione che non mi è per nulla chiara, ovvero dice:
"Essendo dal'atra parte ovvio che $P(T>t) = 1$ per $t<0$ [..]"
Sinceramente non mi spiego proprio il perchè di quella uguaglianza. Perchè se $t<0$ la probabilità è 1? come si interpreta questa cosa?
$T$ è la v.a esponenziale che conta il tempo prima di un successo, per $T>t$ significa che fino a all'istante $t$ non c'è stato nessun successo, e se $t<0$ che significa? che sicuramente ci sarà un successo dopo t? (per essere la sua probabilità uguale ad 1) o cosa?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.
stavo studiando la distribuzione esponenziale ma ci sono alcune affermazioni che proprio non riesco a motivarmi.
Dunque, supponiamo di avere una v.a $T \sim exp(\lambda) $ (ovvero una variabile T con distribuzione esponenziale);
Secondo le dispense che sto studiando possiamo dire che la variabile T conta il tempo di attesa per ottenere il primo successo. E fin qui tutto ok.
Poi viene scritto che devono inoltre essere rispettate le seguenti due proprietà:
a) La media di arrivi in un intervallo di tempo unitario è $\lambda$ ed è maggiore di 0;
b) Il numero di arrivi in un intervallo arbitrario di tempo $[t_1,t_2]$, che rappresenta come $N(t_1,t_2)$ da distribuzione di poisson con parametro $\lambda *(t_2-t_1)$
Allora l'ipotesi b) credo semplicemente che significhi che il numero di successi contati è un valore discreto che si può rappresentare mediante una distribuzione di poisson.
La a) invece non riesco a capire che cosa significa ne tantomeno per cosa viene utilizzata questa osservazione;
Poi prosegue dicendo che dall'equivalenza:
$T>t hArr$ nell'intervallo [0,t] ci sono zero successi, rappresentabile come $N(0,t) = 0$
e dalla b) segue:
$P(T>t) = P(N(0,t)=0) =$ alla distribuzione di poisson con parametri $\lambda * t$ quando $x=0$ (non sto a riscrivere la formula perchè credo che la conosciate meglio di me) con $t > 0$;
Quel $t>0$ credo dipenda dal fatto che altrimenti il parametro della poisson sarebbe negativo, e da quello che abbiamo scritto sopra il parametro invece deve essere un numero positivo (anche perchè dalla definizione che ho della poisson pare che sia definità solo per parametri >0).
Poi fa un osservazione che non mi è per nulla chiara, ovvero dice:
"Essendo dal'atra parte ovvio che $P(T>t) = 1$ per $t<0$ [..]"
Sinceramente non mi spiego proprio il perchè di quella uguaglianza. Perchè se $t<0$ la probabilità è 1? come si interpreta questa cosa?
$T$ è la v.a esponenziale che conta il tempo prima di un successo, per $T>t$ significa che fino a all'istante $t$ non c'è stato nessun successo, e se $t<0$ che significa? che sicuramente ci sarà un successo dopo t? (per essere la sua probabilità uguale ad 1) o cosa?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.
Risposte
Salve a tutti,
stavo studiando la distribuzione esponenziale ma ci sono alcune affermazioni che proprio non riesco a motivarmi.
Dunque, supponiamo di avere una v.a T∼exp(λ) (ovvero una variabile T con distribuzione esponenziale);
Secondo le dispense che sto studiando possiamo dire che la variabile T conta il tempo di attesa per ottenere il primo successo. E fin qui tutto ok.
Poi viene scritto che devono inoltre essere rispettate le seguenti due proprietà:
a) La media di arrivi in un intervallo di tempo unitario è λ ed è maggiore di 0;
**** mi sembra abbastanza ovvia, la media degli eventi che accadono in un intervallo unitario non può essere negativa( che senso ha che in media accadono -1 eventi????) in più non può essere uguale a zero, altrimenti significa che non ci sarà mai un evento e quindi che senso ha parlare di disribuzione?
b) Il numero di arrivi in un intervallo arbitrario di tempo [t1,t2], che rappresenta come N(t1,t2) da distribuzione di poisson con parametro λ⋅(t2-t1)
Allora l'ipotesi b) credo semplicemente che significhi che il numero di successi contati è un valore discreto che si può rappresentare mediante una distribuzione di poisson.
****** sì
La a) invece non riesco a capire che cosa significa ne tantomeno per cosa viene utilizzata questa osservazione;
*** risposto sopra
Poi prosegue dicendo che dall'equivalenza:
T>t⇔ nell'intervallo [0,t] ci sono zero successi, rappresentabile come N(0,t)=0
***** penso che con T intenda l'attimo in cui avviene il primo evento...naturalmente se il momento in cui avviene il primo evento è superiore ad un valore t scelto, significa che dal tempo 0 al tempo t non si è verificato niente....N(0,t) conta gli eventi verificatesi tra 0 e t
e dalla b) segue:
P(T>t)=P(N(0,t)=0)= alla distribuzione di poisson con parametri λ⋅t quando x=0 (non sto a riscrivere la formula perchè credo che la conosciate meglio di me) con t>0;
Quel t>0 credo dipenda dal fatto che altrimenti il parametro della poisson sarebbe negativo, e da quello che abbiamo scritto sopra il parametro invece deve essere un numero positivo (anche perchè dalla definizione che ho della poisson pare che sia definità solo per parametri >0).
***** t è il tempo, che senso ha parlare di tempo negativo, se si utilizza un tempo t negativo ci si riduce all'espresisone banale che spiego sotto
Poi fa un osservazione che non mi è per nulla chiara, ovvero dice:
"Essendo dal'atra parte ovvio che P(T>t)=1 per t<0 [..]"
**** anche questa è ovvia....se inizi ad osservare al tempo 0, e t è un tempo negativo, è banale che la probabilità che il primo evento si verifichi in un tempo superiore a t è 1
Sinceramente non mi spiego proprio il perchè di quella uguaglianza. Perchè se t<0 la probabilità è 1? come si interpreta questa cosa?
T è la v.a esponenziale che conta il tempo prima di un successo, per T>t significa che fino a all'istante t non c'è stato nessun successo, e se t<0 che significa? che sicuramente ci sarà un successo dopo t? (per essere la sua probabilità uguale ad 1) o cosa?
stavo studiando la distribuzione esponenziale ma ci sono alcune affermazioni che proprio non riesco a motivarmi.
Dunque, supponiamo di avere una v.a T∼exp(λ) (ovvero una variabile T con distribuzione esponenziale);
Secondo le dispense che sto studiando possiamo dire che la variabile T conta il tempo di attesa per ottenere il primo successo. E fin qui tutto ok.
Poi viene scritto che devono inoltre essere rispettate le seguenti due proprietà:
a) La media di arrivi in un intervallo di tempo unitario è λ ed è maggiore di 0;
**** mi sembra abbastanza ovvia, la media degli eventi che accadono in un intervallo unitario non può essere negativa( che senso ha che in media accadono -1 eventi????) in più non può essere uguale a zero, altrimenti significa che non ci sarà mai un evento e quindi che senso ha parlare di disribuzione?
b) Il numero di arrivi in un intervallo arbitrario di tempo [t1,t2], che rappresenta come N(t1,t2) da distribuzione di poisson con parametro λ⋅(t2-t1)
Allora l'ipotesi b) credo semplicemente che significhi che il numero di successi contati è un valore discreto che si può rappresentare mediante una distribuzione di poisson.
****** sì
La a) invece non riesco a capire che cosa significa ne tantomeno per cosa viene utilizzata questa osservazione;
*** risposto sopra
Poi prosegue dicendo che dall'equivalenza:
T>t⇔ nell'intervallo [0,t] ci sono zero successi, rappresentabile come N(0,t)=0
***** penso che con T intenda l'attimo in cui avviene il primo evento...naturalmente se il momento in cui avviene il primo evento è superiore ad un valore t scelto, significa che dal tempo 0 al tempo t non si è verificato niente....N(0,t) conta gli eventi verificatesi tra 0 e t
e dalla b) segue:
P(T>t)=P(N(0,t)=0)= alla distribuzione di poisson con parametri λ⋅t quando x=0 (non sto a riscrivere la formula perchè credo che la conosciate meglio di me) con t>0;
Quel t>0 credo dipenda dal fatto che altrimenti il parametro della poisson sarebbe negativo, e da quello che abbiamo scritto sopra il parametro invece deve essere un numero positivo (anche perchè dalla definizione che ho della poisson pare che sia definità solo per parametri >0).
***** t è il tempo, che senso ha parlare di tempo negativo, se si utilizza un tempo t negativo ci si riduce all'espresisone banale che spiego sotto
Poi fa un osservazione che non mi è per nulla chiara, ovvero dice:
"Essendo dal'atra parte ovvio che P(T>t)=1 per t<0 [..]"
**** anche questa è ovvia....se inizi ad osservare al tempo 0, e t è un tempo negativo, è banale che la probabilità che il primo evento si verifichi in un tempo superiore a t è 1
Sinceramente non mi spiego proprio il perchè di quella uguaglianza. Perchè se t<0 la probabilità è 1? come si interpreta questa cosa?
T è la v.a esponenziale che conta il tempo prima di un successo, per T>t significa che fino a all'istante t non c'è stato nessun successo, e se t<0 che significa? che sicuramente ci sarà un successo dopo t? (per essere la sua probabilità uguale ad 1) o cosa?
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