Orsi in Canada

[mobley]

In una città del Canada, al tempo 0, non ci sono orsi nei paraggi. Orsi di tipo Grizzly e di tipo Brown arrivano in città secondo due processi di Poisson indipendenti $G(\cdot)$ e $B(\cdot)$ con tassi d'intensità rispettivamente pari a $\beta$ e $\gamma$.
a) Dimostrare che la probabilità che il primo orso che arriva in città sia un Grizzly è pari a $\beta/(\beta+\gamma)$.
b) Calcola la probabilità che, tra due Brown consecutivi, arrivino esattamente 3 Grizzly.
c) Sapendo che $B(1)=1$, calcola il valore atteso del tempo in cui è arrivato il primo Brown.
d) Sapendo che $B(1)+G(1)=2$, qual'è il tempo medio di arrivo del primo dei due?

a) Il docente ha impostato l'esercizio ponendo $T_G=($tempo di arrivo 1° Grizzly$)$ e $T_B=($tempo di arrivo 1° Brown$)$ e imponendo $\mathbb(P)(T_G Credo comunque di essere giunto comunque alla soluzione fissando $Z=X+Y=($arrivano sia Grizzly che Brown$)=z$ e sfruttando indipendenza tramite convoluzione e riproducibilità della Poisson…

$\mathbb(P)(X|Z)=(\mathbb(P)(X=x),\mathbb(P)(Y=z-X))/(\mathbb(P(Z=z)))=( (z), (x) )((\beta)/(\beta+\gamma))^x((\gamma)/(\beta+\gamma))^(z-x)$

$rArrX|Z~ Bi n(z,(\beta)/(\beta+\gamma))->p=(\beta)/(\beta+\gamma)$

…anche se dal punto di vista puramente logico c'è qualcosa che non mi quadra. Non so.

b) Assumendo che gli arrivi siano indipendenti dovrebbe essere:

$\mathbb(P)(BGGGB)=\mathbb(P)(B)\mathbb(P)(G)\mathbb(P)(G)\mathbb(P)(G)\mathbb(P)(B)=((\gamma)/(b+\gamma))^2\cdot ((\beta)/(\beta+\gamma))^3=(\gamma^2\beta^3)/((\beta+\gamma)^5)$

c) e d) non ci riesco. Ma quando c'è una Poisson e viene chiesto "tempo medio", "numero medio " etc. non dovrei avere almeno un intervallo temporale?

[Lo_zio_Tom]

inizio a farti vedere il punto a)

se i processi sono di Poisson, i tempi di interarrivo sono esponenziali, quindi chiedere che il primo orso ad arrivare sia un Grizzly invece del Brown e come chiedere di calcolare

$mathbb{P}[X
In altre parole


$mathbb{P}[X

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[ghira1]

Per c direi $\frac{1}{2}$

Per d calcolerei il valore medio del minore di 2 valori presi da una distribuzione uniforme in quell'intervallo.

[ghira1]

Ma siamo sicuri che "gamma" sia "brown" e "beta" sia "grizzly"? Sembra più naturale avere gamma=grizzly.

Comunque, per (b) dopo un B, come in qualsiasi altro momento, la probabilità che i prossimi 4 orsi siano GGGB è $\frac{\beta^3\gamma}{(\gamma+\beta)^4}$

[mobley]

"ghira":Ma siamo sicuri che "gamma" sia "brown" e "beta" sia "grizzly"? Sembra più naturale avere gamma=grizzly.

Comunque, per (b) dopo un B, come in qualsiasi altro momento, la probabilità che i prossimi 4 orsi siano GGGB è $\frac{\beta^3\gamma}{(\gamma+\beta)^4}$

Ho lasciato un attimo da parte questo esercizio per riprenderlo più avanti. Comunque perchè $\frac{\beta^3\gamma}{(\gamma+\beta)^4}$?
A me viene $\frac{\beta^3\gamma^2}{(\gamma+\beta)^5}$.

[ghira1]

Perché abbiamo appena visto un B e ci chiediamo la probabilità di avere esattamente tre G e poi il prossimo B. Non è necessario avere la probabilità del primo B nel calcolo.

La probabilità di avere GGG e poi B per i prossimi 4 orsi è sempre la stessa. Subito dopo un B o in qualsiasi altro momento. E possiamo usare il risultato di (a).

[ghira1]

Comunque, potremmo anche simulare la cosa (abbastanza spesso quando faccio i problemi difficili paragono i miei calcoli con i risultati di una simulazione) o verificare la probabilità di avere 0 o 1 o 2 o ... G fra 2 B. Ovviamente questa somma deve essere 1.

[ghira1]

Mi pare che col mio metodo la somma sia 1. Non vuol dire che ho ragione, ma almeno potrei avere ragione.