Numero minimo di funghi
Salve, propongo un problema credo abbastanza semplice, ma essendo un po' arrugginito non riesco a trovare una "formula" valida in generale:
In un bosco ben delimitato ci sono N funghi. Arriva un gruppo composto da M persone, ciascuna delle quali inizia a cercare funghi per conto proprio.
Domande:
1-Quando tutti i funghi del bosco sono stati raccolti, qual'è la probabilità che una persona sia riuscita a raccogliere almeno un fungo?
2- Qual'è il numero minimo N di funghi che dovrebbe essere presente nel bosco per fare in modo che ciascuno degli M cercatori abbia una determinata sicurezza di riuscire a raccogliere almeno 1 fungo?
Io ho iniziato a fare il seguente ragionamento, ma mi piacerebbe avere una risposta valida per qualunque valore di M ed N interi.
Prima di tutto: appena inizia la ricerca, se fosse presente un solo fungo (N=1), essendoci M persone, ciascuna di esse avrà una probabilità 1/M di trovare il fungo.
Se fosse N=2, la probabilità per una persona di trovare "almeno un fungo" sarebbe data dalla probabilità di trovare 1 fungo + la probabilità di trovare 2 funghi, per tanto sarebbe ovviamente maggiore rispetto al caso in cui ci fosse un solo fungo.
Qual'è la probabilità di trovare 2 funghi da parte di una persona quando ci sono in tutto M persone? (E' qui che mi incarto...)
Andando avanti con il ragionamento al crescere di N la probabilità di trovare "almeno" un fungo cresce, ma la cosa si complica in quanto una persona potrebbe trovare molti funghi, e di conseguenza un'altra persona potrebbe non trovarne nessuno, perciò bisognerebbe analizzare tutti i casi possibili e calcolare una probabilità complessiva, ma io mi aspetto che questa probabilità aumenterà sempre al crescere di N, pur senza mai arrivare a 1.
Quindi in merito alla seconda domanda (conseguenza della prima), ritengo che non esista un valore di N "sufficientemente grande" per avere la certezza di trovare almeno un fungo (perchè come visto prima c'è sempre la probabilità seppur remota che qualcuno rimanga senza funghi), per tanto per avere una ragionevole "sicurezza" di trovare almeno un fungo si dovrebbe introdurre un limite grande a piacere, ad esempio il 90% o il 99%, o comunque una soglia prefissata, (chiamiamola X in modo da avere una soluzione del tutto generale).
In un bosco ben delimitato ci sono N funghi. Arriva un gruppo composto da M persone, ciascuna delle quali inizia a cercare funghi per conto proprio.
Domande:
1-Quando tutti i funghi del bosco sono stati raccolti, qual'è la probabilità che una persona sia riuscita a raccogliere almeno un fungo?
2- Qual'è il numero minimo N di funghi che dovrebbe essere presente nel bosco per fare in modo che ciascuno degli M cercatori abbia una determinata sicurezza di riuscire a raccogliere almeno 1 fungo?
Io ho iniziato a fare il seguente ragionamento, ma mi piacerebbe avere una risposta valida per qualunque valore di M ed N interi.
Prima di tutto: appena inizia la ricerca, se fosse presente un solo fungo (N=1), essendoci M persone, ciascuna di esse avrà una probabilità 1/M di trovare il fungo.
Se fosse N=2, la probabilità per una persona di trovare "almeno un fungo" sarebbe data dalla probabilità di trovare 1 fungo + la probabilità di trovare 2 funghi, per tanto sarebbe ovviamente maggiore rispetto al caso in cui ci fosse un solo fungo.
Qual'è la probabilità di trovare 2 funghi da parte di una persona quando ci sono in tutto M persone? (E' qui che mi incarto...)
Andando avanti con il ragionamento al crescere di N la probabilità di trovare "almeno" un fungo cresce, ma la cosa si complica in quanto una persona potrebbe trovare molti funghi, e di conseguenza un'altra persona potrebbe non trovarne nessuno, perciò bisognerebbe analizzare tutti i casi possibili e calcolare una probabilità complessiva, ma io mi aspetto che questa probabilità aumenterà sempre al crescere di N, pur senza mai arrivare a 1.
Quindi in merito alla seconda domanda (conseguenza della prima), ritengo che non esista un valore di N "sufficientemente grande" per avere la certezza di trovare almeno un fungo (perchè come visto prima c'è sempre la probabilità seppur remota che qualcuno rimanga senza funghi), per tanto per avere una ragionevole "sicurezza" di trovare almeno un fungo si dovrebbe introdurre un limite grande a piacere, ad esempio il 90% o il 99%, o comunque una soglia prefissata, (chiamiamola X in modo da avere una soluzione del tutto generale).
Risposte
intanto occorre definire meglio il problema...innanzitutto mi pare ragionevole porre $M
Ora la probabilità che una qualsiasi delle M persone riesca a trovare almeno un fungo è il complemento della probabilità che tutti i funghi cadano nei cestini degli altri $M-1$ soggetti e quindi la probabilità richiesta è
$1-(((N),(M-1)))/(((N),(M)))=1-M/(N-M+1)$
per il resto ti invito a ragionare e produrre qualche bozza di soluzione....(ciò che hai postato è molto lontano dal definirsi bozza di soluzione)
buona giornata e buon lavoro
Ora la probabilità che una qualsiasi delle M persone riesca a trovare almeno un fungo è il complemento della probabilità che tutti i funghi cadano nei cestini degli altri $M-1$ soggetti e quindi la probabilità richiesta è
$1-(((N),(M-1)))/(((N),(M)))=1-M/(N-M+1)$
per il resto ti invito a ragionare e produrre qualche bozza di soluzione....(ciò che hai postato è molto lontano dal definirsi bozza di soluzione)
buona giornata e buon lavoro
Intanto grazie per la risposta.
Sto riflettendo sulla formula che hai messo, che ancora sto cercando di capire. Nel frattempo però mi sembra che qualcosa non torni, del tipo:
Perchè M deve necessariamente essere inferiore a N? Io potrei anche avere meno funghi che persone, e chiedermi lo stesso quale probabilità abbia di trovare almeno un fungo (dovrebbe essere semplicemente un valore più piccolo rispetto che se avessi più funghi....)
Inoltre, in questa soluzione, se avessi ad esempio M=2 persone e N=3 otterrei una probabilità pari a 0.
Infine, sempre con questa soluzione, se pongo M=1 (ossia una sola persona) ottengo una probabilità < 1, qualunque sia N mentre dovrei necessariamente ottenere 1.
Sto riflettendo sulla formula che hai messo, che ancora sto cercando di capire. Nel frattempo però mi sembra che qualcosa non torni, del tipo:
Perchè M deve necessariamente essere inferiore a N? Io potrei anche avere meno funghi che persone, e chiedermi lo stesso quale probabilità abbia di trovare almeno un fungo (dovrebbe essere semplicemente un valore più piccolo rispetto che se avessi più funghi....)
Inoltre, in questa soluzione, se avessi ad esempio M=2 persone e N=3 otterrei una probabilità pari a 0.
Infine, sempre con questa soluzione, se pongo M=1 (ossia una sola persona) ottengo una probabilità < 1, qualunque sia N mentre dovrei necessariamente ottenere 1.
hai ragione!....$1-((M-1)/M)^N$, $AA M,N in NN^+$
così è giusta.....
per il resto, come detto prima, ti lascio ragionare....qui però torniamo alla restrizione precedente: $M<=N$ altrimenti non è possibile che ogni cercatore abbia almeno un fungo
OK ora va meglio. Adesso provo a ragionarci sopra.... 
Allora, sto ragionando ancora su come hai fatto a trovare questa formula..... (un aiutino, sono ingegnere, non matematico 
).
Comunque, passando alla seconda parte della domanda, una volta stabilita la probabilità di trovare almeno un fungo dati N e M, posso osservare che, fissato X come "soglia di accettabilità" (esempio X=0,99), è immediato ricavare il numero minimo di N tale per cui si abbia una probabilità maggiore di X di trovare almeno un fungo, infatti:
$ P>X $ da cui:
$ 1-((M-1)/M)^N > X $
da cui:
$ N>LOG_(((M-1)/M)) (1-X) = (LOG(1-X)) /( LOG((M-1)/M) $
Facendo alcuni esempi:
Se ho M=4 persone che cercano, per avere una ragionevole probabilità che ciascuno di essi non venga a casa a mani vuote (X=0,99) dovrebbero essere sufficienti almeno N>16 funghi (ossia pari a 4 volte il numero di persone)
Aumentando la soglia X=0,999 otterrei N>24 (pari a 6 volte il numero delle persone)
La curva N-P, è asintotica, ma cresce abbastanza rapidamente nel primo tratto, quindi non occorre spingersi troppo oltre con la soglia....
Diciamo quindi che "ingegneristicamente", per essere "quasi sicuri" di trovare almeno un fungo dovrebbero esserci almeno 4 o 5 funghi a testa, questo vale poi in generale anche con più persone..
).Comunque, passando alla seconda parte della domanda, una volta stabilita la probabilità di trovare almeno un fungo dati N e M, posso osservare che, fissato X come "soglia di accettabilità" (esempio X=0,99), è immediato ricavare il numero minimo di N tale per cui si abbia una probabilità maggiore di X di trovare almeno un fungo, infatti:
$ P>X $ da cui:
$ 1-((M-1)/M)^N > X $
da cui:
$ N>LOG_(((M-1)/M)) (1-X) = (LOG(1-X)) /( LOG((M-1)/M) $
Facendo alcuni esempi:
Se ho M=4 persone che cercano, per avere una ragionevole probabilità che ciascuno di essi non venga a casa a mani vuote (X=0,99) dovrebbero essere sufficienti almeno N>16 funghi (ossia pari a 4 volte il numero di persone)
Aumentando la soglia X=0,999 otterrei N>24 (pari a 6 volte il numero delle persone)
La curva N-P, è asintotica, ma cresce abbastanza rapidamente nel primo tratto, quindi non occorre spingersi troppo oltre con la soglia....
Diciamo quindi che "ingegneristicamente", per essere "quasi sicuri" di trovare almeno un fungo dovrebbero esserci almeno 4 o 5 funghi a testa, questo vale poi in generale anche con più persone..
"boba74":
Allora, sto ragionando ancora su come hai fatto a trovare questa formula..... (un aiutino, sono ingegnere, non matematico
Se hai N palline che devono andare tutte in $(M-1)$ cestini, ad ogni tentativo la probabilità di fare centro è $(M-1)/M$
Dato che le N palline si possono vedere come N prove indipendenti la probabilità che tutte finiscano in quei cestini è
$((M-1)/M)^N$
e quindi la probabilità cercata è il complementare.
Per quanto riguarda il resto dell'esercizio
"boba74":
Adesso provo a ragionarci sopra....
non mi pare che tu abbia fatto ancora un gran ragionamento: non hai fatto altro che risolvere in N la probabilità[nota]oltre ad aver sbagliato la formula perché ovviamente non è $log(M-1/M)$ ma $log(1-1/M)$[/nota] che ti ho indicato io fissato un certo $p%$ ma questa non è la richiesta della traccia.
Infatti il testo chiede che TUTTI gli M individui abbiano almeno un fungo (con una certa probabilità fissata)....e non è la stessa cosa
Grazie (l'errore nella formula era dovuto al fatto che non avevo messo una parentesi nella stringa dell'ACIImath, sulla carta l'avevo scritta bene però...). ora dovrebbe essere a posto.
Riguardo alla probabilità che TUTTI abbiano almeno un fungo.... in effetti non è la stessa cosa di dire che una persona abbia almeno un fungo...., anche se non mi aspetto grosse differenze in termini numerici. Staremo a vedere.
ora dovrebbe essere a posto.Riguardo alla probabilità che TUTTI abbiano almeno un fungo.... in effetti non è la stessa cosa di dire che una persona abbia almeno un fungo...., anche se non mi aspetto grosse differenze in termini numerici. Staremo a vedere.
Non aiutatemi, forse ci sto arrivando.... 
Salve, purtroppo non sono ancora riuscito a trovare la risposta.... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Allora, io ho ragionato così:
La probabilità che TUTTI trovino almeno un fungo si potrebbe ricavare facendo il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili.
Ora, il numero di casi possibili, essendoci M ricercatori e N funghi è pari a
$M^N$
che rappresenta il numero di disposizioni possibili di M elementi in un insieme di N elementi con "ripetizione" (perchè ciascno degli M ricercatori può essere "estratto" fino a N volte)
Ora, il numero di casi favorevoli si avrebbe contando solo le estrazioni in cui compaiono tutti gli M elementi contemporanemente, escludendo quindi quelle dove uno o più elementi di M non compare (cioè non trova nessun fungo).
Sarebbe un po' come chiedersi, se lancio N volte un dado in quanti modi è possibile ottenere almeno una volta tutti i numeri da 1 a 6 (in questo caso M=6). Nel caso del dado ho provato a "contare" i primi risultati, ponendo ad esempio N=6, io avrò che lanciando il dado 6 volte ho un unica combinazione possibile che mi permetta di ottenere tutti e 6 i numeri (perchè non importa l'ordine di uscita). Se lo lancio 7 N=7 volte ho 6 possibilità di ottenere tutti i numeri (sarebbero i casi in cui ciascuno ottiene 1 fungo e il fungo in più viene assegnato di volta in volta a ciascuno), se ho N=8 ottengo 20 possibilità (visto che ci sono 2 funghi in più dei ricercatori si tiene conto anche delle possibili doppiette e triplette) e così via....(già aumentando a 9 c'è da diventar matti....).
Non riesco però a "generalizzare" il numero di casi favorevoli, ho provato a guardare le varie formule del calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni, ecc....) ma senza trovarne una applicabile direttamente, per tanto credo che mi sfugga un passaggio, e forse non ho sufficienti nozioni matematiche. A occhio, mi aspetto che la probabilità cercata dipenda molto dalla differenza (o dal rapporto) tra N e M, nel senso che la probabilità di "accontentare" tutti si ha solo oltre un certo numero di funghi "in più" rispetto al numero di persone, ma questa cosa mi sembra ovvia.....
Allora, io ho ragionato così:
La probabilità che TUTTI trovino almeno un fungo si potrebbe ricavare facendo il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili.
Ora, il numero di casi possibili, essendoci M ricercatori e N funghi è pari a
$M^N$
che rappresenta il numero di disposizioni possibili di M elementi in un insieme di N elementi con "ripetizione" (perchè ciascno degli M ricercatori può essere "estratto" fino a N volte)
Ora, il numero di casi favorevoli si avrebbe contando solo le estrazioni in cui compaiono tutti gli M elementi contemporanemente, escludendo quindi quelle dove uno o più elementi di M non compare (cioè non trova nessun fungo).
Sarebbe un po' come chiedersi, se lancio N volte un dado in quanti modi è possibile ottenere almeno una volta tutti i numeri da 1 a 6 (in questo caso M=6). Nel caso del dado ho provato a "contare" i primi risultati, ponendo ad esempio N=6, io avrò che lanciando il dado 6 volte ho un unica combinazione possibile che mi permetta di ottenere tutti e 6 i numeri (perchè non importa l'ordine di uscita). Se lo lancio 7 N=7 volte ho 6 possibilità di ottenere tutti i numeri (sarebbero i casi in cui ciascuno ottiene 1 fungo e il fungo in più viene assegnato di volta in volta a ciascuno), se ho N=8 ottengo 20 possibilità (visto che ci sono 2 funghi in più dei ricercatori si tiene conto anche delle possibili doppiette e triplette) e così via....(già aumentando a 9 c'è da diventar matti....).
Non riesco però a "generalizzare" il numero di casi favorevoli, ho provato a guardare le varie formule del calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni, ecc....) ma senza trovarne una applicabile direttamente, per tanto credo che mi sfugga un passaggio, e forse non ho sufficienti nozioni matematiche. A occhio, mi aspetto che la probabilità cercata dipenda molto dalla differenza (o dal rapporto) tra N e M, nel senso che la probabilità di "accontentare" tutti si ha solo oltre un certo numero di funghi "in più" rispetto al numero di persone, ma questa cosa mi sembra ovvia.....
Dunque vedendo i tuoi ragionamenti mi pare che brancoli nel buio....ora, prima di perderci del tempo prezioso (che fra l'altro non ho perché sono in partenza per una trasferta lavorativa oltreoceano) vorrei sapere alcune cose:
1) è un esercizio che ti hanno dato esattamente così[nota]in tal caso penso di non saperti aiutare[/nota] o lo hai parzialmente inventato / modificato?
2) sei in grado di risolverlo con M e p fissati?
Infatti, con M e p fissati, risolvere il problema è davvero un gioco da ragazzi....
Ad esempio, con un numero di cercatori pari a $M=3$ abbiamo
ecc ecc...
Per avere una probabilità maggiore del 99% ci vogliono 15 funghi con 3 cercatori e ben 28 funghi con 5 cercatori
EDIT: io ho contato le combinazioni favorevoli con la distribuzione multinomiale ma, un angelo custode, mi ha fatto notare che lo stesso risultato si ottiene molto più semplicemente utilizzando il principio di "Inclusione/esclusione"
1) è un esercizio che ti hanno dato esattamente così[nota]in tal caso penso di non saperti aiutare[/nota] o lo hai parzialmente inventato / modificato?
2) sei in grado di risolverlo con M e p fissati?
Infatti, con M e p fissati, risolvere il problema è davvero un gioco da ragazzi....
Ad esempio, con un numero di cercatori pari a $M=3$ abbiamo
ecc ecc...
Per avere una probabilità maggiore del 99% ci vogliono 15 funghi con 3 cercatori e ben 28 funghi con 5 cercatori
EDIT: io ho contato le combinazioni favorevoli con la distribuzione multinomiale ma, un angelo custode, mi ha fatto notare che lo stesso risultato si ottiene molto più semplicemente utilizzando il principio di "Inclusione/esclusione"
Grazie dell'aiuto.
Ti dirò che non è un esercizio, ma un quesito che è venuto in mente a me per un gioco.
Siccome sono solito organizzare una caccia al tesoro per ragazzi, nascondo in giro "a caso" vari indizi che loro devono cercare.
Allora, mi chiedevo quanti indizi devo nascondere "come minimo" per avere una certa sicurezza che tutti quanti ne trovino almeno uno.
A me basterebbe capire come fare a calcolare facilmente in excel quelle probabilità, che anche io ho ricavato per N e M bassi semplicemente facendo una tabella con tutti i possibili risultati e contando quelli che non lasciavano nessuno a mani vuote. Però chiaramente una volta arrivati a M=3 e N=5 iniziano a servirmi delle pagine e non sono neppure sicuro di riuscire a individuare correttamente tutte le possibilità (rischio di tralasciarne qualcuna o di contare dei doppioni).
Non credevo potesse non esserci una soluzione generale...
Comunque, indicativamente, a me interesserebbe avere M=4 o al max 5 e capire quale valore di N mi da una probabilità di almeno il 99%...
Ti dirò che non è un esercizio, ma un quesito che è venuto in mente a me per un gioco.
Siccome sono solito organizzare una caccia al tesoro per ragazzi, nascondo in giro "a caso" vari indizi che loro devono cercare.
Allora, mi chiedevo quanti indizi devo nascondere "come minimo" per avere una certa sicurezza che tutti quanti ne trovino almeno uno.
A me basterebbe capire come fare a calcolare facilmente in excel quelle probabilità, che anche io ho ricavato per N e M bassi semplicemente facendo una tabella con tutti i possibili risultati e contando quelli che non lasciavano nessuno a mani vuote. Però chiaramente una volta arrivati a M=3 e N=5 iniziano a servirmi delle pagine e non sono neppure sicuro di riuscire a individuare correttamente tutte le possibilità (rischio di tralasciarne qualcuna o di contare dei doppioni).
Non credevo potesse non esserci una soluzione generale...
Comunque, indicativamente, a me interesserebbe avere M=4 o al max 5 e capire quale valore di N mi da una probabilità di almeno il 99%...
Tra l'altro, pensavo che questo problema fosse già stato affrontato, del resto secondo me potrebbe avere implicazioni pratiche, oltre a quelle ludiche che ho proposto io.... mi viene in mente ad esempio:
Se ho un allevamento di pesci in un laghetto molto grande, in cui non so dove stanno i pesci, e quindi se metto tutto il cibo in un punto non sono sicuro che tutti i pesci possano accedere al cibo in modo "equo", per tanto potrebbe valere la pena gettare a caso bocconi di cibo su tutta la superficie in modo che ciascun pesce trovi il cibo per conto proprio: sapendo che vi sono M pesci, quanti bocconi devo buttare per essere sicuro che tutti i pesci possano mangiare almeno un boccone, dal momento che magari un singolo pesce potrebbe accaparrarsi anche più bocconi a discapito degli altri, perciò sicuramente non basta mettere 1 boccone per ogni pesce.
Oppure, classico carro di carnevale da cui i personaggi lanciano caramelle alla folla di bambini: se ci sono M bambini e lancio caramelle a caso, quante dovrei lanciarne come minimo per fare in modo che tutti i bambini riescano a prendere almeno una caramella? (Conosco bene la sitauzione per averla vissuta: non è raro vedere il bambino con il sacchetto pieno e l'altro senza neppure una caramella.... ).
Capisco che "nella realtà" possa entrare in gioco la maggiore abilità di un individuo rispetto a un altro, ma parto dal presupposto che sfruttando la casualità e la sovrabbondanza di oggetti ci sarà una soglia in cui è praticamente impossibile che qualcuno resti senza.
Se ho un allevamento di pesci in un laghetto molto grande, in cui non so dove stanno i pesci, e quindi se metto tutto il cibo in un punto non sono sicuro che tutti i pesci possano accedere al cibo in modo "equo", per tanto potrebbe valere la pena gettare a caso bocconi di cibo su tutta la superficie in modo che ciascun pesce trovi il cibo per conto proprio: sapendo che vi sono M pesci, quanti bocconi devo buttare per essere sicuro che tutti i pesci possano mangiare almeno un boccone, dal momento che magari un singolo pesce potrebbe accaparrarsi anche più bocconi a discapito degli altri, perciò sicuramente non basta mettere 1 boccone per ogni pesce.
Oppure, classico carro di carnevale da cui i personaggi lanciano caramelle alla folla di bambini: se ci sono M bambini e lancio caramelle a caso, quante dovrei lanciarne come minimo per fare in modo che tutti i bambini riescano a prendere almeno una caramella? (Conosco bene la sitauzione per averla vissuta: non è raro vedere il bambino con il sacchetto pieno e l'altro senza neppure una caramella....
).Capisco che "nella realtà" possa entrare in gioco la maggiore abilità di un individuo rispetto a un altro, ma parto dal presupposto che sfruttando la casualità e la sovrabbondanza di oggetti ci sarà una soglia in cui è praticamente impossibile che qualcuno resti senza.
"tommik":
Per avere una probabilità maggiore del 99% ci vogliono 15 funghi con 3 cercatori e ben 28 funghi con 5 cercatori
EDIT: io ho contato le combinazioni favorevoli con la distribuzione multinomiale ma, un angelo custode, mi ha fatto notare che lo stesso risultato si ottiene molto più semplicemente utilizzando il principio di "Inclusione/esclusione"
OK adesso allora ri-provo a ragionarci su....
Grazie!
Mi confermi che per i vari M e N, il numero di casi possibili è sempre $ M^N $ ?
ovviamente sì. Ti ho anche detto che ho usato la multinomiale....guardala e ci troverai già tutte le combinazioni favorevoli e possibili, le devi solo sommare.
Utilizzando il principio di inclusione / esclusione basta calcolare i casi favorevoli così in modo molto più immediato di come ho fatto io:
$sum_(i=0)^(M-1)(-1)^i((M),(i))(M-i)^N$
fine[nota]grazie beppe[/nota]
Utilizzando il principio di inclusione / esclusione basta calcolare i casi favorevoli così in modo molto più immediato di come ho fatto io:
$sum_(i=0)^(M-1)(-1)^i((M),(i))(M-i)^N$
fine[nota]grazie beppe[/nota]
Grazie....
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