Numeri random

[grande_mur87]

Esercizio:

X e Y sono due numeri random indipendenti. min(X, Y) ha funzione di distribuzione?

Ho trovato su un libro la seguente soluzione, della quale non viene data però una spiegazione esaustiva:

$P(min(X,Y) <= t) = P(X <= t) + P(Y <= t) - P(X <= t, Y<=t) = t + t - t^2 = 2t - t^2$

Allo stesso modo per il max(X,Y):

$P(max(X,Y) <= t) = P(X <= t, Y <= t) = t^2$

E' corretto risolvere il problema in questo modo, e perchè?
In particolare, non capisco bene perchè il minimo corrisponde grosso modo ad un'operazione di unione tra eventi, e il massimo ad una di intersezione.

[Andrea2976]

La probabilità per il minimo è:

$P(\min(X,Y)\leq t)=1-P(\min(X,Y)>t)=1-P(X>t,Y>t)$

I tuoi conti finali hanno senso solo se prendi $X$ e $Y$ distribuite uniformemente su $[0,1]$.

L'unica ossrvazione da fare è quella per cui se richiedi che il $\max(X,Y)$ debba essere minore di una data quantità allora sia $X$ e $Y$ devono esserelo,
analogo ragionamento (a parti invertite) per il $\min(X,Y)$.

[grande_mur87]

Mi sono scordato di citare, in effetti, che è richiesto il minimo e il massimo per 0 Quello che vorrei sapere, però, è perchè devo usare quella formula per trovarli.

[Andrea2976]

L'evento $min(X,Y)\leq t$ è scomponibile nei tre eventi, non indipendenti, $X\leq t$, $Y\leq t$ e $(X\leq t,Y\leq t) $, ora sia l'evento $X\leq t$ sia $Y\leq t$ contengono l'evento
$(X\leq t,Y\leq t) $ per cui ottieni la formula che hai citato, in quanto devi sottrarre una volta l'evento $(X\leq t,Y\leq t) $.
Per vederlo visivamente basta considerare un generico punto, $(t,t)$ nel tuo caso, nel piano cartesiano e visualizzare i tre eventi di cui sopra, analogo risultato per il $max(X,Y)$.