Momento Secondo v.c. Lognormale

[FunkyGallo]

Salve a tutti, sto avendo qualche problema a calcolarmi il momento secondo per la v.c Lognormale. dove $ X=e^(mu+sigmaZ) $ e $ Z~ N(0,1) $. Ho trovato il val atteso $ E(X)=E(e^(mu+sigmaZ))=e^(mu+sigma^2/2)$


per il momento secondo ho fatto così:

$ E(X^2)=E((e^(mu+sigmaZ))^2)=inte^(mu^2+sigma^2z^2+2musigmaz)*(e^(-z^2/2))/sqrt(2pi)dz $

a questo punto non saprei come andare avanti perchè dovrei completare il quadrato per sistemare gli esponenti per far si che possa avere la forma della gaussiana.. ciò che mi impedisce di farlo è il termine $ e^(2musigmaz) $ che non posso portare fuori dall'integrale perchè non è una costante, ma non posso nemmeno portare dentro perchè non riuscirei a completare il quadrato a causa del termine $ mu $. Su internet non c'è uno straccio di dimostrazione su la derivazione di mom secondo e Varianza. Grazie

[mic999]

Sbagli l elevazione al quadrato che non devi fare.. ricordati che $(e^{a})^{2}=e^{2a}$

[FunkyGallo]

ciao mic io ero convintissimo di dover fare il quadrato perchè ho una somma elevata a potenza nell'esponenziale.. credevo che quella regola che dici tu andasse bene solo per elementi singoli come dici tu..

Ho fatto anche una domanda apposita su questa cosa dell esponenziale..

viewtopic.php?f=36&t=183174

adesso mi sto confondendo

[FunkyGallo]

giusto mic ho ricontrollato e avevo completamente confuso $ e^((mu+sigmaZ)^2) $ con $ (e^(mu+sigmaZ))^2=e^(2mu+2sigmaZ)=e^(2mu)*e^(2sigmaZ) $

completo l'esercizio della varianza nel caso serva a qualcuno..

momento secondo non centrato

$ =E[X^2]=E[(e^(mu+sigmaZ))^2]=int_(-oo )^(oo) (e^(mu+sigmaZ))^2*(e^(-z^2/2))/(sqrt(2pi))dz= $

$ =int_(\-infty)^(infty) e^(2mu)e^(2sigmaz)* (e^(-z^2/2))/(sqrt(2pi))dz= e^(2mu) int_(\-infty)^(infty) (e^(-1/2(z^2-4sigmaz+4sigma^2)+2sigma^2)/sqrt(2pi))dz= $


$ =e^(2mu+2sigma^2) int_(\-infty)^(infty) (e^(-1/2(z^2-4sigmaz+4sigma^2))/sqrt(2pi))dz=e^(2mu+2sigma^2) int_(\-infty)^(infty) (e^(-1/2(z-2sigma)^2)/sqrt(2pi))dz= e^(2mu+2sigma^2)= E[X^2] $


VARIANZA:



$ V[X]=e^(2mu+2sigma^2)-(e^(mu+sigma^2/2))^2=e^(2mu+2sigma^2)-e^(2mu+sigma^2)= e^(2mu+sigma^2)(e^(sigma^2)-1) $