Momento quarto Moto Browniano

[mobley]

Dato un MB $W={W_t}_(t>=0)$ in $ RR^n $, e sapendo che il momento secondo è $ E[W_t^2]=trArrE[\Delta_k^2]=delta_k:=t_k-t_(k-1) $ , come dimostro che:

$E[\Delta_k^4]=3delta_k^2$

Sfruttando le varie proprietà di cui è composto non riesco ad arrivare a una conclusione.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie!

[Gughigt]

Potresti arrivarci seguendo diverse strade, la più immediata è questa:
Visto che per definizione \(\displaystyle W_{t} \sim N(0, t) \), allora:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}W_{t}\sim N(0,1) \)

Dovrebbe esserti più che noto che il quarto momento centrato di una normale std. è pari a $3$ (curtosi... questa sconosciuta), formalmente:

$ mathbb(E)[(\frac{1}{\sqrt{t}}W_{t})^{4}]=3$

si ha che:

$ mathbb(E)[(W_{t})^4]=3t^2 $

c.v.d.

Se lo vuoi dimostrare assumendo di non conoscere il momento della normale std. ti basta scrivere la distribuzione e ti renderai conto di avere la funzione gamma moltiplicata per qualcosa. Da lì arrivi allo stesso risultato.
Volendo fare le cose complesse, applica il lemma di Itō e vedi cosa ti viene fuori.
EDIT: mi era scappato un quadrato , grazie tommik per la segnalazione!