Momento 4 con FGM

[marcoderamo93]

Buona sera sto affrontando ora lo studio della funzione generatrice di momenti e ho a che fare con i seguenti esercizi teorici

il quesito è il seguente

Data una v.a X $N(mu,sigma)$ trovare il momento quarto. Stessa cosa considerando una $Gamma$ $(alpha,lambda)$ (utilizzando la FGM)


Per la normale so che $Mx(t)=e^(tmu)e^[(sigma^2)(t^2)/2]$
Ora io so che per trovare il momento quarto devo derivare $Mx(t)''''$ e valutarlo in 0

$Mx'(t)=e^tmu*mu*e^(sigma^2)t^2/2 + e^(tmu)e^(sigma^2)(t^2/2)tsigma^2$

Raccogliendo posso scrivere $Mx(t)'=(sigma^2t+mu)Mx(t)$ quindi per calcolare i momenti successivi

$M''(t)=sigma^2Mx(t)+(sigma^2t+mu)Mx'(t)=sigma^2Mx(t)+(sigma^2t+mu)^2Mx(t)=(sigma^2+sigma^4t^2+2musigma^2t+mu^2)Mx(t)$ e cosi via fino a quello che mi serve(ho studiato in 0 la derivata prima e osservo che in effetti è $mu$)


per quanto riguarda la distribuzione gamma invece mi sono stoppato

dalla teoria so

$Mx(t)=lambda^alpha/(lambda-t)^alpha$

ora
$Mx(t)= lambda^alpha (lambda-t)^(-alpha)$ derivo e ottengo $M'=lambda^alpha (lambda-t)^-(alpha+1)(-1)$
calcolato $M'(0)=-lambda^alpha/(lambda)^(alpha+1) !=alpha/lambda$


Non riesco a capire dove sbaglio

Sono agli inizi di questo nuovo capitolo e di sicuro su tante cose ho bisogno di tempo per entrare nei meccanismi...spero in un vostro aiuto

Grazie mille a tutti anticipatamente

[Lo_zio_Tom]

hai sbagliato la derivata

$M_X(t)=lambda^alpha(lambda-t)^(-alpha)$

$M'_X(t)=lambda^alpha(-alpha)(lambda-t)^(-alpha-1)(-1)|_(t=0)=(alpha lambda^alpha)/(lambda^(alpha+1))=alpha/lambda$

Ps

Quando si parla di distribuzione Gamma, si indica $\text(Gamma)(alpha;lambda)$ e non la Gamma greca perché quella è la "funzione gamma" ed inoltre occorre specificare se $lambda$ è lo "scale parameter" o, come in questo caso, il "rate parameter" altrimenti la domanda resta ambigua dato che la gamma ha diverse parametrizzazioni