Moltiplicazione Gaussiane indipendenti

[simonesimo972]

Salve a tutti,

mi sono imbattuto in questo esercizio di Calcolo delle Probabilità, senza riuscire a risolverlo.

Siano X ~ N(1; 1) e Y ~ N(2; 2) tra loro indipendenti. Calcolare la retta di regressione lineare di W = X*Y su Z = X + Y

Nel determinare Z non ho avuto problemi, ottenendo una Gaussiana (3,3), mentre per W avrei dei problemi, non giungendo ad alcuna densità nota. Moltiplicando le rispettive densità, infatti, mi trovo davanti a un numero che non so come semplificare...

Magari va usato il fatto che sono indipendenti per semplificare qualcosa??

Grazie in anticipo!

[Lo_zio_Tom]

Esattamente! Per risolvere l'esercizio le distribuzioni di W e Z non servono. Devi solo calcolare medie, varianze e covarianza di W e Z che trovi agevolmente data l'indipendenza di X e Y

Ciao

EDIT

$ E (X^2Y^2)=E (X^2) E (Y^2)=12$

essendo:

$ E (X^2)=sigma_(x)^2+mu_(x)^2=2$

$ E (Y^2)=sigma_(y)^2+mu_(y)^2=6$

$ E (X^2Y^2)=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo) x^2y^2f (x, y) dxdy=$ per l'indipendenza

$=int_(-oo)^(+oo)x^2f (x) dxint_(-oo)^(+oo) y^2f (y) dy=E (X^2) E (Y^2) $

c.v.d

ciao

[simonesimo972]

Ok grazie mille della dritta!

L'unica cosa dove mi blocco è nel calcolare la varianza di W.

Per l'indipendenza so che essa è uguale a E(W^2)-[E(W)]^2 .... Il secondo termine lo ricavo facilmente, ma non riesco a calcolare il primo che, alla fine, sarebbe E(X^2*Y^2) ...

Qualche suggerimento?