Modello di regressione di Poissson

[valentinax89]

Ciao, ho bisogno di alcuni chiarimenti per questo esercizio:


Siano y realizzazioni indipendenti di variabili casuali di Poisson con media µi, peri = 1, . . . , 50. Siano inoltre x1 e x2 due variabili dicotomiche, che assumono valore 0 o 1, di lunghezza 50. Un modello di regressione di Poisson stimato su tali variabili mediante la funzione glm() di R, ha fornito il seguente output: glm(formula = y ~ x1 + x2, family = poisson)
Coefficients:

(Intercept) Estimate:-1.6300 Std. Error 0.3695 z value -4.411 Pr(>|z|) ??
x1 Estimate: 1.5892 Std. Error ?? z value ?? Pr(>|z|) 1.63e-02
x2 Estimate: 1.8257 Std. Error 0.3143 z value ?? Pr(>|z|) ??
Null deviance: 78.664 on ?? degrees of freedom
Residual deviance: 37.059 on ?? degrees of freedom



(a)Si scriva il modello teorico corrispondente all’output di R e si fornisca l’espressione del modello stimato. Dare anche il comando R per ottenere il modello stimato.
(b)Si completi il risultato dell’analisi e si dica se avere solo un genitore fumatore, rispetto
ad averli entrambi fumatori, riduce signifitivamente la probabilit`a che uno studente sia
fumatore.
ecc.


Premetto che non ho mai fatto esercizi sulla regressione di poisson, ma sono sulle regressione lineare.
Ho cercato quindi la teoria ed ho trovato le seguenti definizioni:


[...]"Per dati di conteggio, come modello statistico `e naturale assumere che $y_1, . . . , y_n$ siano realizzazioni di v.c. indipendenti con distribuzione di Poisson con media µi, ossia $Y_i ∼ P(\mu_i)$, i = 1, . . . , n. La distribuzione di Poisson costituisce un modello adatto a descrivere il numero di occorrenze in un intervallo di tempo di eventi in un qualche senso rari. Quando sono disponibili variabili esplicative, `e di interesse formulare modelli che spieghino la dipendenza di µi da p valori xi = (xi1, . . . , xip), con p < n. Nella definizione di un modello di regressione di Poisson, viene mantenuta l’ipotesi di
indipendenza (1), mentre si generalizzano le ipotesi (2) e (3) con le due seguenti ipotesi
$g(E(Y_i)) = g(\mu_i) = beta^ (T) x_i = beta_1 x_(i1) + . . . + betax_(ip) $,
$Y_i ∼ P(\mu_i) $ " [...]


Quindi il modello statistico corrispondente lo scriverei così:

$ y = beta_0 + beta_1 x_1i + beta_2 x_2i$
stimato
$ y = \hat beta_0 + \hat beta_1 x_1i + \hat beta_2 x_2i$
$ y = -1.6300 + 1.5892 x_1i + 1.8257x_2i$

punto (b)

Coefficients:

(Intercept) Estimate -1.6300 Std. Error 0.3695 z value -4.411 Pr(>|z|) 2(1- phi(-4.411))= circa 0
x1 Estimate 1.5892 Std. Error ?? z value ?? Pr(>|z|) 1.63e-02
x2 Estimate 1.8257 Std. Error 0.3143 z value ?? Pr(>|z|) ??
Null deviance: 78.664 on ?? degrees of freedom
Residual deviance: 37.059 on ?? degrees of freedom

Come trovo lo Std.Error e z value?

Grazie mille.