MLE stimatore max verosimiglianza

[camicorte]

Ho questa funzione di densità: $fx(x|theta)= (2x)/(theta^2-2theta+1) I[0, theta-1](x)$
L'MLE mi viene 1, ma non credo sia possibile. Qual'è la soluzione?

[Lo_zio_Tom]

"camicorte":
L'MLE mi viene 1, ma non credo sia possibile. Qual'è la soluzione?

Intanto andrebbe specificato che

1) si estrae un campione casuale di ampiezza $n$

2) il parametro $theta>1$

3) lo stimatore di cosa?

Se cerchi lo stimatore di ML per $theta$ viene

$hat(theta)_(ML)=x_((n))+1$

dove $x_((n))$ è l'ennesima statistica d'ordine, cioè il $max(x_1,...,x_n)$


ciao

[camicorte]

Sì scusami.
Ma come si arriva a questo risultato? Io ho posto uguale a 0 la funzione score, che dovrebbe essere $-(2n)/(theta-1)^2$ ma non arrivo a questo risultato.

[camicorte]

Sono a metà del corso di inferenza, e per ora l'unico metodo che abbiamo utilizzato per calcolarre l'MLE è azzerando la funzione score. La funzione di verosimiglianza mi viene $(2^n)/(theta-1)^(2n)prod_(i=1)^n X i$ e la log-verosimiglianza $ln2 sum_(i=1)^n X i-2nln(theta-1)$. Credo che $prod_(i=1)^n X i$ sia statistica sufficiente e la score l'ho trovata derivando la log.

[Lo_zio_Tom]

"camicorte":per ora l'unico metodo che abbiamo utilizzato per calcolarre l'MLE è azzerando la funzione score.

Allora non lo puoi risolvere.

La verosimiglianza che hai scritto è incompleta. Manca il dominio (e non è un dettaglio)

La verosimiglianza corretta è questa

$L(theta) prop 1/(theta-1)^(2n) mathbb{1}_((x_((n))+1;+oo))(theta)$

(ho tralasciato le quantità che non dipendono da $theta$ tanto la verosimiglianza è definita a meno di costanti moltiplicative)

Ora, anche senza fare calcoli si vede subito che quella verosimiglianza (come funzione di $theta>1$) è strettamente decrescente e quindi il suo massimo[nota]anzi, il suo argsup[/nota] non può essere che al punto di frontiera

Prendi anche un esempio più semplice, con una densità uniforme in $(0;theta)$
Prova a calcolare lo stimatore ML di $theta$ e vedrai che, anche qui, sulla base di un campione casuale di ampiezza $n$, l'azzeramento dello score non ti porta da nessuna parte...

EDIT:

"camicorte": Credo che $prod_(i=1)^n X i$ sia statistica sufficiente

Questa me l'ero persa....quella è l'altra funzione nel teorema di fattorizzazione....$h(ul(x))$

Teorema: SE ESISTE UNO STIMATORE SUFFICIENTE, allora lo stimatore di massima verosimiglianza è funzione dello stimatore sufficiente

qui lo stimatore sufficiente esiste ed è proprio $S=max(x_1,...,x_n)$... e qualunque funzione monotona di $S$

prendiamo un campione casuale $X_1,...,X_n$

basta leggere il dominio della densità che hai scritto tu ed osserviamo che

$0<=X_1<=theta-1$
$0<=X_2<=theta-1$
...
$0<=X_n<=theta-1$

quindi possiamo dire che $theta-1>=$ qualunque $X_i$ ovvero

$theta-1>=X_((n))$

e quindi $theta>=X_((n))+1$

il grafico della verosimiglianza è questo

[camicorte]

Secondo questo ragionamento l'argomento che massimizza non dovrebbe pero' essere il $min(x1,...,xn)$?