Misure dirette di uguale precisione
Ciao a tutti 
Nel preparare l'esame di Topografia sono incappato ad alcuni concetti di statistica che mi tengono bloccato sulle stesse 10 pagine da diversi giorni ormai
e l'esame si avvicina... Mi affido dunque al vostro buon cuore 
Il fine di queste 10 pagine è di farmi comprendere che nell'impossibilità di effettuare infinite misure, nella pratica per misurare correttamente una grandezza è necessario ripetere più volte la misura e assumere come valore della grandezza quello espresso dalla media delle misure eseguite.
Dobbiamo misurare una grandezza. Consideriamo un campione di misure di questa grandezza $x_1, x_2, ...... , x_n$ e di calcolarne la media stimata $m_(stim) = (\sum_{i=1}^n x_i)/n$.
Ipotiziamo di ripetere infinite volte questa operazione, quindi immagino di avere infinite medie stimate. Avendo così infinite medie stimate sarà possibile calcolarne la media teorica $m$ (media delle medie stimate).
Utilizzando l'operatore $M[a]$ con il significato di "calcolo il valore della media teorica della distribuzione a", applicato alle medie stimate sarà:
$M[m_(stim)]=1/n * M[X_1] + 1/n * M[X_2] + ............. + 1/n * M[X_n]$
dove: $X_1 , .... , X_n$ sono le distribuzioni costituite da infiniti valori etratti rispettivamente per primi, secondi, ... , n-esimi, le cui medie teoriche sono $m$.
Si ottiene:
$M[m_(stim)]=1/n * m + 1/n * m + ..... + 1/n * m = m$
In base a questo il libro dice che la media teorica della distribuzione delle medie coincide con la media teorica della distribuzione origine e quindi la stima non è affetta da errore sistematico. Non capisco il legame fra le espressioni e questa affermarmazione.
Per quanto riguarda la determinazione della varianza $(\sigma^2)_m$ della distribuzione delle medie partendo dalla prima espressione che ho scritto si arriva a
$(\sigma^2)_m = 1/n^2 * \sigma^2 + 1/n^2 * \sigma^2 + ..... + 1/n^2 * \sigma^2 = \sigma^2/n$
In altre parole l'effettuare n osservazioni di una stessa grandezza, ovvero l'effettuare n estrazioni da una distribuzione di varianza $/sigma^2$ , e costruire la media aritmetica del campione $m_(stim)$ equivale ad eseguire un'unica osservazione da una distribuzione (distribuzione delle medie) che ha la stessa media teorica (m) e una varianza n volte più piccola ($/sigma^2/n$)
Chiedo scusa se ho riportato praticamente le stesse parole del libro, ma proprio non riesco a interpretarle, quindi non avrei saputo esprimermi diversamente
Vi sarei davvero molto grato se mi deste una spigazione che possa comprendere anche un ignorante in materia come me
Grazie mille ancora e scusate la lunghezza del messaggio...
Nel preparare l'esame di Topografia sono incappato ad alcuni concetti di statistica che mi tengono bloccato sulle stesse 10 pagine da diversi giorni ormai
e l'esame si avvicina... Mi affido dunque al vostro buon cuore Il fine di queste 10 pagine è di farmi comprendere che nell'impossibilità di effettuare infinite misure, nella pratica per misurare correttamente una grandezza è necessario ripetere più volte la misura e assumere come valore della grandezza quello espresso dalla media delle misure eseguite.
Dobbiamo misurare una grandezza. Consideriamo un campione di misure di questa grandezza $x_1, x_2, ...... , x_n$ e di calcolarne la media stimata $m_(stim) = (\sum_{i=1}^n x_i)/n$.
Ipotiziamo di ripetere infinite volte questa operazione, quindi immagino di avere infinite medie stimate. Avendo così infinite medie stimate sarà possibile calcolarne la media teorica $m$ (media delle medie stimate).
Utilizzando l'operatore $M[a]$ con il significato di "calcolo il valore della media teorica della distribuzione a", applicato alle medie stimate sarà:
$M[m_(stim)]=1/n * M[X_1] + 1/n * M[X_2] + ............. + 1/n * M[X_n]$
dove: $X_1 , .... , X_n$ sono le distribuzioni costituite da infiniti valori etratti rispettivamente per primi, secondi, ... , n-esimi, le cui medie teoriche sono $m$.
Si ottiene:
$M[m_(stim)]=1/n * m + 1/n * m + ..... + 1/n * m = m$
In base a questo il libro dice che la media teorica della distribuzione delle medie coincide con la media teorica della distribuzione origine e quindi la stima non è affetta da errore sistematico. Non capisco il legame fra le espressioni e questa affermarmazione.
Per quanto riguarda la determinazione della varianza $(\sigma^2)_m$ della distribuzione delle medie partendo dalla prima espressione che ho scritto si arriva a
$(\sigma^2)_m = 1/n^2 * \sigma^2 + 1/n^2 * \sigma^2 + ..... + 1/n^2 * \sigma^2 = \sigma^2/n$
In altre parole l'effettuare n osservazioni di una stessa grandezza, ovvero l'effettuare n estrazioni da una distribuzione di varianza $/sigma^2$ , e costruire la media aritmetica del campione $m_(stim)$ equivale ad eseguire un'unica osservazione da una distribuzione (distribuzione delle medie) che ha la stessa media teorica (m) e una varianza n volte più piccola ($/sigma^2/n$)
Chiedo scusa se ho riportato praticamente le stesse parole del libro, ma proprio non riesco a interpretarle, quindi non avrei saputo esprimermi diversamente
Vi sarei davvero molto grato se mi deste una spigazione che possa comprendere anche un ignorante in materia come me
Grazie mille ancora e scusate la lunghezza del messaggio...
Risposte
Ciao.
Quando tu calcoli [tex]m_{stim}[/tex] non ottieni il valor medio della distribuzione, ma ottieni un suo stimatore, cioè una variabile casuale che si distribuisce intorno al valore medio esattamente come si distribuivano intorno al valore medio anche le singole [tex]x_i[/tex] che avevi inizialmente; inoltre i due valori medi sono lo stesso numero.
a) Se tiri un dado tante volte i valori che escono si distribuiscono intorno al numero 3,5
b) Se tiri due dadi e ne calcoli la media, le medie sono numeri casuali che si distribuiscono intorno al numero 3,5
Quello che cambia è la varianza delle distribuzioni: la varianza di a è più grande della varianza di b di un fattore n.
So che può sembrare difficile a parole, ma ti garantisco che appena capirai bene il concetto lo troverai davvero facile
Quando tu calcoli [tex]m_{stim}[/tex] non ottieni il valor medio della distribuzione, ma ottieni un suo stimatore, cioè una variabile casuale che si distribuisce intorno al valore medio esattamente come si distribuivano intorno al valore medio anche le singole [tex]x_i[/tex] che avevi inizialmente; inoltre i due valori medi sono lo stesso numero.
a) Se tiri un dado tante volte i valori che escono si distribuiscono intorno al numero 3,5
b) Se tiri due dadi e ne calcoli la media, le medie sono numeri casuali che si distribuiscono intorno al numero 3,5
Quello che cambia è la varianza delle distribuzioni: la varianza di a è più grande della varianza di b di un fattore n.
So che può sembrare difficile a parole, ma ti garantisco che appena capirai bene il concetto lo troverai davvero facile
"WiseDragon":
Ciao.
Quando tu calcoli [tex]m_{stim}[/tex] non ottieni il valor medio della distribuzione, ma ottieni un suo stimatore, cioè una variabile casuale che si distribuisce intorno al valore medio esattamente come si distribuivano intorno al valore medio anche le singole [tex]x_i[/tex] che avevi inizialmente; inoltre i due valori medi sono lo stesso numero.
a) Se tiri un dado tante volte i valori che escono si distribuiscono intorno al numero 3,5
b) Se tiri due dadi e ne calcoli la media, le medie sono numeri casuali che si distribuiscono intorno al numero 3,5
Quello che cambia è la varianza delle distribuzioni: la varianza di a è più grande della varianza di b di un fattore n.
So che può sembrare difficile a parole, ma ti garantisco che appena capirai bene il concetto lo troverai davvero facile
Grazie mille per la risposta!!
Immagino che il concetto non sia difficile, ma ho una tale confusione in testa che anche le cose più banali me le riesco a trasformare in complicate
In particolare non mi vedo molto in che senso le $x_i$ si distribuiscono intorno al valore medio (valore reale) esattamente come la $m_(stim)$...Perchè io mi vedo che le $x_i$ si distribuiscono attorno a $m_(stim)$, quest'ultimo si distribuisce nella distribuzione delle medie intorno al valore reale. Però $m_(stim)$ non coincide con il valore reale perchè non è la media di un numero infinito di valori, quindi non mi vedo che le $x_i$ si distribuiscono nello stesso modo intorno al valore reale.
La sto pensando troppo incasinata?
Credo di aver capito cosa ti confonde: provo a spiegarmi con parole diverse.
Esiste [tex]\mu[/tex] che è il valore esatto della media della distribuzione
Le [tex]x_i[/tex] vengono estratte da quella distribuzione e quindi si distribuiscono intorno a [tex]\mu[/tex]
Visto che [tex]\mu[/tex] non lo conosco, allora cerco di stimarlo sulla base dei valori [tex]x_i[/tex] facendone la media [tex]m[/tex]
Quando la dea bendata decide di estrarre un certo [tex]x_i[/tex] lo prende da una distribuzione che ha come media [tex]\mu[/tex]
Quando vado a guardare la distribuzione di [tex]m[/tex] vedo che anche lei ha come media il valore [tex]\mu[/tex]
Quindi quando la dea bendata estrae un gruppo di [tex]x_i[/tex] e calcola la loro media [tex]m_j[/tex], è come se estraesse un particolare valore [tex]m_j[/tex] preso da una distribuzione che ha [tex]\mu[/tex] come media
Esiste [tex]\mu[/tex] che è il valore esatto della media della distribuzione
Le [tex]x_i[/tex] vengono estratte da quella distribuzione e quindi si distribuiscono intorno a [tex]\mu[/tex]
Visto che [tex]\mu[/tex] non lo conosco, allora cerco di stimarlo sulla base dei valori [tex]x_i[/tex] facendone la media [tex]m[/tex]
Quando la dea bendata decide di estrarre un certo [tex]x_i[/tex] lo prende da una distribuzione che ha come media [tex]\mu[/tex]
Quando vado a guardare la distribuzione di [tex]m[/tex] vedo che anche lei ha come media il valore [tex]\mu[/tex]
Quindi quando la dea bendata estrae un gruppo di [tex]x_i[/tex] e calcola la loro media [tex]m_j[/tex], è come se estraesse un particolare valore [tex]m_j[/tex] preso da una distribuzione che ha [tex]\mu[/tex] come media
"WiseDragon":
Credo di aver capito cosa ti confonde: provo a spiegarmi con parole diverse.
Esiste [tex]\mu[/tex] che è il valore esatto della media della distribuzione
Le [tex]x_i[/tex] vengono estratte da quella distribuzione e quindi si distribuiscono intorno a [tex]\mu[/tex]
Visto che [tex]\mu[/tex] non lo conosco, allora cerco di stimarlo sulla base dei valori [tex]x_i[/tex] facendone la media [tex]m[/tex]
Quando la dea bendata decide di estrarre un certo [tex]x_i[/tex] lo prende da una distribuzione che ha come media [tex]\mu[/tex]
Quando vado a guardare la distribuzione di [tex]m[/tex] vedo che anche lei ha come media il valore [tex]\mu[/tex]
Quindi quando la dea bendata estrae un gruppo di [tex]x_i[/tex] e calcola la loro media [tex]m_j[/tex], è come se estraesse un particolare valore [tex]m_j[/tex] preso da una distribuzione che ha [tex]\mu[/tex] come media
Ti ringrazio davvero molto, sei stato gentilissimo
Ora credo di aver capito... Credo di stare antipatico al mio libro: per esprimere concetti effettivamente non così difficili ho l'impressione che faccia la questione più complicata di quanto possa essere in realtà
Ma probabilmente dipende da me che sono nuovo della materia e devo prenderci un po' confidenza...Grazie mille comunque ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo