Misura prodotto assolutamente continua
Ciao, sono sempre combattuto su dove postare domande di teoria della misura (analisi o probabilità?), quindi chi può farlo sposti pure dove ritiene più opportuno.
Comunque il problema è quello di provare che, data una probabilità (sui boreliani di $\mathbb{R}$) $\nu$ assolutamente continua rispetto a una misura $\mu$ (quindi $\nu$ ha densità $f$ rispetto a $\mu$), allora la probabilità prodotto $\nu\otimes\nu$ è assolutamente continua rispetto a $\mu\otimes\mu$ e una densità della prima rispetto alla seconda è $f(x)\cdot f(y)$.
Per la dimostrazione... Ho pensato al teorema delle classi monotone, cominciando a provare la cosa per boreliani del tipo $A\times B$, che si vede facilmente. Poi però il passaggio a un evento $C$ generico non lo vedo...
Altra via potrebbe essere quella di usare l'espressione della misura prodotto
$\mu\otimes\mu(C)=\int\mu(C_x)\ d\mu(x)$
dove $C_x$ è la sezione di $C$, ma anche qui non saprei come andare avanti... Qualche idea?
Comunque il problema è quello di provare che, data una probabilità (sui boreliani di $\mathbb{R}$) $\nu$ assolutamente continua rispetto a una misura $\mu$ (quindi $\nu$ ha densità $f$ rispetto a $\mu$), allora la probabilità prodotto $\nu\otimes\nu$ è assolutamente continua rispetto a $\mu\otimes\mu$ e una densità della prima rispetto alla seconda è $f(x)\cdot f(y)$.
Per la dimostrazione... Ho pensato al teorema delle classi monotone, cominciando a provare la cosa per boreliani del tipo $A\times B$, che si vede facilmente. Poi però il passaggio a un evento $C$ generico non lo vedo...
Altra via potrebbe essere quella di usare l'espressione della misura prodotto
$\mu\otimes\mu(C)=\int\mu(C_x)\ d\mu(x)$
dove $C_x$ è la sezione di $C$, ma anche qui non saprei come andare avanti... Qualche idea?
Risposte
Non sono un grande esperto di misure/spazi prodotto; è una carenza che cercherò di colmare col tempo (purtroppo sempre meno)...
Comunque, prova a vedere se ti serve la sigma-finitezza di $mu$: generalmente questi risultati, tipo Fubini, vogliono questa assunzione.
Questo è quello che mi è venuto in mente:
se $C$ è tale che $mu x mu (C) = int mu(C_x) d mu(x)=0$ allora esiste un $A$ misurabile tale che $ mu(A^c)=0$ e per ogni $x in A quad mu(C_x)=0$ ovvero la funzione $ x rightarrow mu(C_x)$ è $mu$ quasi ovunque nulla.
Allora $nuxnu(C) = int nu(C_x) dnu(x) = int_A nu(C_x) dnu(x) + int_{A^c}nu(C_x) dnu(x)$.
Ora, essendo $ mu(A^c) =0$ allora $nu(A^c)=0$ e dunque anche il secondo integrale è nullo, mentre per il primo $ forall x in A qquad mu(C_x)=0 $ implica $nu(C_x) =0 $ e dunque anche il primo integrale è 0.
Comunque, prova a vedere se ti serve la sigma-finitezza di $mu$: generalmente questi risultati, tipo Fubini, vogliono questa assunzione.
Questo è quello che mi è venuto in mente:
se $C$ è tale che $mu x mu (C) = int mu(C_x) d mu(x)=0$ allora esiste un $A$ misurabile tale che $ mu(A^c)=0$ e per ogni $x in A quad mu(C_x)=0$ ovvero la funzione $ x rightarrow mu(C_x)$ è $mu$ quasi ovunque nulla.
Allora $nuxnu(C) = int nu(C_x) dnu(x) = int_A nu(C_x) dnu(x) + int_{A^c}nu(C_x) dnu(x)$.
Ora, essendo $ mu(A^c) =0$ allora $nu(A^c)=0$ e dunque anche il secondo integrale è nullo, mentre per il primo $ forall x in A qquad mu(C_x)=0 $ implica $nu(C_x) =0 $ e dunque anche il primo integrale è 0.
Daje! 
Mi ero bloccato proprio all'inizio dove, non so perché, mi ero convinto, confondendomi con una condizione di $\sigma$-finitezza, che per essere quasi certamente nulla la funzione integranda dovesse essere quasi certamente positiva
(vedo che il correttore ortografico di Firefox non gradisce la parola "integranda"...)
Comunque hai detto praticamente tutto e non mi resta che provare la seconda parte:
considererei la misura $\eta$ definita dalla densità $g(x,y)=f(x)f(y)$ rispetto a $\mu\otimes\mu$ e proverei che coincide con $\nu\otimes\nu$. Basta provarlo per i rettangoli $A\times B$ perché questi ultimi formano una base per i boreliani di $\mathbb{R}^2$ e in questo caso si vede subito usando Fubini-Tonelli:
$\nu\otimes\nu(A\times B)=\nu(A)\nu(B)=\int_Af(x)\mu(dx)\int_Bf(y)\mu(dy)=\int\int_{A\times B}f(x)f(y)(\mu\otimes\mu)(dx,dy)=\eta(A\times B)$
OK?
Mi ero bloccato proprio all'inizio dove, non so perché, mi ero convinto, confondendomi con una condizione di $\sigma$-finitezza, che per essere quasi certamente nulla la funzione integranda dovesse essere quasi certamente positiva
(vedo che il correttore ortografico di Firefox non gradisce la parola "integranda"...)
Comunque hai detto praticamente tutto e non mi resta che provare la seconda parte:
considererei la misura $\eta$ definita dalla densità $g(x,y)=f(x)f(y)$ rispetto a $\mu\otimes\mu$ e proverei che coincide con $\nu\otimes\nu$. Basta provarlo per i rettangoli $A\times B$ perché questi ultimi formano una base per i boreliani di $\mathbb{R}^2$ e in questo caso si vede subito usando Fubini-Tonelli:
$\nu\otimes\nu(A\times B)=\nu(A)\nu(B)=\int_Af(x)\mu(dx)\int_Bf(y)\mu(dy)=\int\int_{A\times B}f(x)f(y)(\mu\otimes\mu)(dx,dy)=\eta(A\times B)$
OK?
"retrocomputer":
Mi ero bloccato proprio all'inizio dove non so perché, mi ero convinto, confondendomi con una condizione di $ \sigma $-finitezza, che per essere quasi certamente nulla la funzione integranda dovesse essere quasi certamente positiva
Non capisco bene cosa dici; la non negatività di $mu$ viene usata pensamente in quello che ho scritto, altrimenti non potrei concludere che la funzione $x to mu(C_x)$sia $mu$ quasi ovunque nulla.
La sigma finitezza ( ed anche la non negatività) sono generalmente richieste in risultati su spazi prodotti ( se vuoi qua possimao rifletterci di più - anche se non ne so molto).
Su quello che scrivi non mi pare ci sia problema; stavo solo pensando al fatto che vedevi l'uguaglianza tra $eta$ e $nu$ su quegli insiemi che definisci essere una base. Cosa intendi per base?
Da quello che so ti basta dimostrarlo per una famiglia di insiemi che genera la sigma algebra e tale che sia un pi-system (chiuso rispetto all'intersezione finita).
"DajeForte":
Non capisco bene cosa dici; la non negatività di $ mu $ viene usata pensamente in quello che ho scritto, altrimenti non potrei concludere che la funzione $ x to mu(C_x) $sia $ mu $ quasi ovunque nulla.
Sì, infatti, se nella mia frase sostituisci "positiva" con "finita", forse si capisce meglio cosa ho confuso
"DajeForte":
La sigma finitezza ( ed anche la non negatività) sono generalmente richieste in risultati su spazi prodotti ( se vuoi qua possimao rifletterci di più - anche se non ne so molto).
Da quello che so, il teorema di Fubini-Tonelli si applica anche a funzioni non necessariamente positive provando prima che la scomposizione dell'integrale vale per il modulo della funzione e in tal caso allora vale anche per la funzione (senza modulo).
Per la sigma finitezza invece, mi è stata data la definizione di assoluta continuità di misure solo nel caso sigma finito, probabilmente perché solo in questo caso vale il teorema di Radon-Nikodym, quindi non ho idea di come funzionino le cose senza la sigma finitezza delle due misure.
Credo che la seconda parte del mio quesito, quella che ho provato io, non sia nemmeno enunciabile senza almeno la sigma finitezza, mentre sulla parte dimostrata da te sono più possibilista...
"DajeForte":
Su quello che scrivi non mi pare ci sia problema; stavo solo pensando al fatto che vedevi l'uguaglianza tra $ eta $ e $ nu $ su quegli insiemi che definisci essere una base. Cosa intendi per base?
Da quello che so ti basta dimostrarlo per una famiglia di insiemi che genera la sigma algebra e tale che sia un pi-system (chiuso rispetto all'intersezione finita).
Per base intendo proprio quello che hai scritto: famiglia di generatori stabile per intersezione finita.
Si hai ragione.
Quello che intendevo è che il teorema di fubini richieda che gli spazi siano sigma finiti e misure non negative (o almeno le dimostrazioni che ho visto magari si puó generalizzare).
Inoltre quelle due ipotesi credo servano anche per avere $ \mu\otimes\mu(C)=\int\mu(C_x)\ d\mu(x) $
Quello che intendevo è che il teorema di fubini richieda che gli spazi siano sigma finiti e misure non negative (o almeno le dimostrazioni che ho visto magari si puó generalizzare).
Inoltre quelle due ipotesi credo servano anche per avere $ \mu\otimes\mu(C)=\int\mu(C_x)\ d\mu(x) $
"DajeForte":
Quello che intendevo è che il teorema di fubini richieda che gli spazi siano sigma finiti e misure non negative (o almeno le dimostrazioni che ho visto magari si puó generalizzare).
Ah beh, ne hai già viste più di me: io l'ho dimostrato solo per due misure di probabilità
Ma cosa sono gli spazi sigma finiti? Volevi scrivere "misure"?
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