Minimo tra due variabili aleatorie continue
\(\displaystyle \)Ciao a tutti,
posso chiedervi conferma di un esercizio sul calcolo del valore atteso del minimo tra due variabili aleatorie?
L'avrei risolto, ma non sono sicura.
Sono date \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle X_2 \) due variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme su [0, 1] e [0, 2], rispettivamente.
Data \(\displaystyle Y = min [X_1 , X_2] \) , bisogna calcolarne il valore atteso \(\displaystyle E(Y) \) .
Premetto che non ho mai fatto a lezione il minimo e il massimo tra due variabili aleatorie, ho trovato un esempio simile su internet e da lì ho provato, per questo non sono sicura.
\(\displaystyle f(X_1) = 1 \) e \(\displaystyle f(X_2) = \frac{1}{2} \)
Ho calcolato \(\displaystyle F_Y(t) \) la funzione di ripartizione di \(\displaystyle Y \) :
\(\displaystyle
F_Y(t) = P(Yt) = 1 - P(X_1 > t)P(X_2 > t) \\ \\
P(X_1 > t) = 1 - P(X_1 < t) = 1 - F_{X_1}(t) = 1 -\displaystyle\int\limits_0^t \! 1 \, \mathrm{d}x = 1 - t \\ \\
P(X_2 > t) = 1 - P(X_2 < t) = 1 - F_{X_2}(t) = 1 -\displaystyle\int\limits_0^t \! \frac{1}{2} \, \mathrm{d}x = 1 - \frac{t}{2} \\ \\
F_Y(t) = 1 - (1 - t)(1 - \frac{t}{2}) = - \frac{1}{2} t^2+ \frac{3}{2}t \\ \\
\)
Quindi la densità di probabilità è:
\(\displaystyle
f_Y(t) = - t + \frac{3}{2} \\ \\
E(Y) = \displaystyle\int\limits_0^2 \! t f_Y(t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle\int\limits_0^2 \! -t^2 + \frac{3}{2}t \, \mathrm{d}t = ... = \frac{1}{3} \\ \\
\)
Pensate che sia giusto? Mi rendo conto che potrebbe essere una cavolata, ma non avendolo mai visto ho dei dubbi.
posso chiedervi conferma di un esercizio sul calcolo del valore atteso del minimo tra due variabili aleatorie?
L'avrei risolto, ma non sono sicura.
Sono date \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle X_2 \) due variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme su [0, 1] e [0, 2], rispettivamente.
Data \(\displaystyle Y = min [X_1 , X_2] \) , bisogna calcolarne il valore atteso \(\displaystyle E(Y) \) .
Premetto che non ho mai fatto a lezione il minimo e il massimo tra due variabili aleatorie, ho trovato un esempio simile su internet e da lì ho provato, per questo non sono sicura.
\(\displaystyle f(X_1) = 1 \) e \(\displaystyle f(X_2) = \frac{1}{2} \)
Ho calcolato \(\displaystyle F_Y(t) \) la funzione di ripartizione di \(\displaystyle Y \) :
\(\displaystyle
F_Y(t) = P(Y
P(X_1 > t) = 1 - P(X_1 < t) = 1 - F_{X_1}(t) = 1 -\displaystyle\int\limits_0^t \! 1 \, \mathrm{d}x = 1 - t \\ \\
P(X_2 > t) = 1 - P(X_2 < t) = 1 - F_{X_2}(t) = 1 -\displaystyle\int\limits_0^t \! \frac{1}{2} \, \mathrm{d}x = 1 - \frac{t}{2} \\ \\
F_Y(t) = 1 - (1 - t)(1 - \frac{t}{2}) = - \frac{1}{2} t^2+ \frac{3}{2}t \\ \\
\)
Quindi la densità di probabilità è:
\(\displaystyle
f_Y(t) = - t + \frac{3}{2} \\ \\
E(Y) = \displaystyle\int\limits_0^2 \! t f_Y(t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle\int\limits_0^2 \! -t^2 + \frac{3}{2}t \, \mathrm{d}t = ... = \frac{1}{3} \\ \\
\)
Pensate che sia giusto? Mi rendo conto che potrebbe essere una cavolata, ma non avendolo mai visto ho dei dubbi.
Risposte
Tutto ok fino all'ultimo passaggio.... hai sbagliato il dominio di Y. Se è il minimo fra le due variabili non potrà mai andare oltre 1. Non pensi?
Quindi $y in [0,1] $.
Oltretutto in $y>3/2$ ti verrebbe una densità negativa, che non può essere
Ciao
Quindi $y in [0,1] $.
Oltretutto in $y>3/2$ ti verrebbe una densità negativa, che non può essere
Ciao
Grazie, gentilissimo!
In questo caso si prende da 0 fino ad 1 perchè la densità del minimo tra 1 e 2 è zero?
E se si fosse trattato del massimo avrei dovuto fare l'integrale fra 0 e 2 all'ultimo passaggio? O no?
In questo caso si prende da 0 fino ad 1 perchè la densità del minimo tra 1 e 2 è zero?
E se si fosse trattato del massimo avrei dovuto fare l'integrale fra 0 e 2 all'ultimo passaggio? O no?
Col massimo sarebbe cambiata anche la densità.
$F_(m a x)=F_(X_1)F_(X_2) $
Non posso rispondere a molti quesiti perché sono in vacanza senza strumenti e quasi senza internet. Ho risposto a questo visto che era tutto giusto ed hai fatto un bello sforzo ad inserire tutti i passaggi. Puoi tranquillamente provare a fare anche l'esercizio sul massimo
$F_(m a x)=F_(X_1)F_(X_2) $
Non posso rispondere a molti quesiti perché sono in vacanza senza strumenti e quasi senza internet. Ho risposto a questo visto che era tutto giusto ed hai fatto un bello sforzo ad inserire tutti i passaggi. Puoi tranquillamente provare a fare anche l'esercizio sul massimo
Grazie ancora, ma mi riferivo all'intervallo di integrazione alla fine.
Per il minimo si prende da 0 fino ad 1 perchè la densità del minimo tra 1 e 2 è zero?
E se avessi dovuto calcolare il valore atteso del massimo ( con una diversa funzione di ripartizione e una diversa densità) come sarebbe stato l'intervallo? Tra 0 e 2?
Per il minimo si prende da 0 fino ad 1 perchè la densità del minimo tra 1 e 2 è zero?
E se avessi dovuto calcolare il valore atteso del massimo ( con una diversa funzione di ripartizione e una diversa densità) come sarebbe stato l'intervallo? Tra 0 e 2?
Si certo fra 0 e 2 ma occorre fare un po' di attenzione nei calcoli... anche se non mi sembra nulla di complicato
Grazie mille! Buona vacanza 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo