Minimizzare la media
Salve, sto facendo un esercizio simile ad un mio precedente post, la traccia la lascio sotto spoiler per le dimensioni
Ora l'alfabeto di X è N meno {0} , mentre la pmf (è la distribuzione geometrica) l'ho definita come \(\displaystyle f(x) = pq^{x-1} \) e credo che fino a qui sia giusto.
passando al punto b) ho la prima domanda, la media nella distribuzione geometrica dovrebbe essere \(\displaystyle 1/p \) ma per calcolare \(\displaystyle p \) ho fatto una tabella di D(c) e D(b) e calcolato le rispettive probabilità e poi ho diviso per \(\displaystyle 6 \) tenendo conto anche di D(a) tuttavia così tengo in considerazione solo 36 delle 216 possibili combinazioni, quindi ho moltiplicato per 6... In totale mi esce che la prob. che non escano 1 o 6 è di \(\displaystyle (16u-16u^{2})/25 \) ma a patto che sia giusto il numero come si fa ad ottenerlo tramite calcolo combinatorio? Inoltre come faccio a trovare \(\displaystyle u \) che minimizza la media?
Ora l'alfabeto di X è N meno {0} , mentre la pmf (è la distribuzione geometrica) l'ho definita come \(\displaystyle f(x) = pq^{x-1} \) e credo che fino a qui sia giusto.
passando al punto b) ho la prima domanda, la media nella distribuzione geometrica dovrebbe essere \(\displaystyle 1/p \) ma per calcolare \(\displaystyle p \) ho fatto una tabella di D(c) e D(b) e calcolato le rispettive probabilità e poi ho diviso per \(\displaystyle 6 \) tenendo conto anche di D(a) tuttavia così tengo in considerazione solo 36 delle 216 possibili combinazioni, quindi ho moltiplicato per 6... In totale mi esce che la prob. che non escano 1 o 6 è di \(\displaystyle (16u-16u^{2})/25 \) ma a patto che sia giusto il numero come si fa ad ottenerlo tramite calcolo combinatorio? Inoltre come faccio a trovare \(\displaystyle u \) che minimizza la media?
Risposte
sto pensando che \(\displaystyle (16u-16u^{2})/25 \) a questo punto è sicuramente sbagliato, dovrebbe essere \(\displaystyle (u-u^{2})/150 \) la prob della singola estrazione senza 1 e 6 ( ricavata moltiplicando le probabilità di D(a) D(b) e D(c) ) ma la prob che non escano 1 e 6 dovrebbe essere di 8/27 e quindi la media 27/8 e varianza 513/8... e quel numero non entra in gioco prima del punto c) o sbaglio?
Se consideri le tre variabili aleatorie (i tre dadi) come delle bernulliane
successo: esce 1 oppure 6
insuccesso: esce altro
Le puoi formalizzare così:
$A={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( 2/6 , 4/6 ) :}$
$B={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( (4u+1)/5 , 4/5(1-u)) :}$
$C={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( (5-4u)/5 , 4/5u) :}$
E quindi trovi subito che la probabilità di avere una terna che non contenga né 1 né 6 è semplicemente
$p(u)=4/6*4/5(1-u)*4/5u=32/75(u-u^2)$
La variabile $X$ che ti interessa è una geometrica (come hai giustamente notato); la media ovviamente è $E[X]=1/p$ e la varianza $V[X]=(1-p)/p^2$
Per avere un $u$ che minimizzi la media devi avere un $u$ che massimizzi $p(u)$
...la funzione $p(u)$ è una parabola da massimizzare, non mi pare un problema, derivi e poni =0
$d/(du)p(u) prop1-2u=0 rarr u=1/2$
successo: esce 1 oppure 6
insuccesso: esce altro
Le puoi formalizzare così:
$A={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( 2/6 , 4/6 ) :}$
$B={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( (4u+1)/5 , 4/5(1-u)) :}$
$C={{: ( {1;6} , {2;3;4;5} ),( (5-4u)/5 , 4/5u) :}$
E quindi trovi subito che la probabilità di avere una terna che non contenga né 1 né 6 è semplicemente
$p(u)=4/6*4/5(1-u)*4/5u=32/75(u-u^2)$
La variabile $X$ che ti interessa è una geometrica (come hai giustamente notato); la media ovviamente è $E[X]=1/p$ e la varianza $V[X]=(1-p)/p^2$
Per avere un $u$ che minimizzi la media devi avere un $u$ che massimizzi $p(u)$
...la funzione $p(u)$ è una parabola da massimizzare, non mi pare un problema, derivi e poni =0
$d/(du)p(u) prop1-2u=0 rarr u=1/2$
Ok ora è tutto perfettamente chiaro, così è molto più bello e semplice (oltre che corretto 
), ti ringrazio ancora per avermi consigliato il testo di Ross che trovo molto più completo di quello che avevo, tuttavia mi servirebbe un eserciziario o pdf con esercizi svolti, sapresti consigliarmene uno?
), ti ringrazio ancora per avermi consigliato il testo di Ross che trovo molto più completo di quello che avevo, tuttavia mi servirebbe un eserciziario o pdf con esercizi svolti, sapresti consigliarmene uno?
A fine traccia mi dice N.B. può essere utile il risultato \[\sum_{n=1} n^2r^{n-1} = {1+r}/(1-r)^3 , |r|<1\]
Ma non capisco a cosa possa servire...
Ma non capisco a cosa possa servire...
In realtà a nulla. E' un hint utile a calcolare la varianza della geometrica ed infatti dice "può essere utile"....ma anche no.
Vediamo come calcolare media e varianza della geometrica senza usare l'hint della traccia
Vediamo prima la media:
$E[X]=sum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(oo)d/(dq)q^x=pd/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=pd/(dq)q/(1-q)=p*1/[1-(1-p)]^2=p/p^2=1/p$
Vediamo ora la varianza:
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]$
$E[X^2]=sum_(x=1)^(oo)x^2q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)[x(x-1)+x]q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)x(x-1)q^(x-1)p+1/p=S+1/p$
concentriamoci sulla somma S:
$S=2pq+6pq^2+12pq^3+20pq^4+....$
moltiplichiamo ambo i membri per $q$ ottenendo
$Sq=2pq^2+6pq^3+12pq^4+20pq^5+....$
sottraiamo membro a membro ottenendo
$S(1-q)=2pq+4pq^2+6pq^3+.....$
raccogliamo ciò che possiamo raccogliere ed otteniamo così il momento secondo:
$E[X^2]=(2pq[1+2q+3q^2+4q^3+...])/(1-q)+1/p=(2qsum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)p)/(1-q)+1/p=(2qE[X])/(1-q)+1/p=2q/p^2+1/p$
e quindi, infine,
$V[X]=2q/p^2+1/p-1/p^2=(1-p)/p^2$
Come hai visto è solo questione di giocherellare un po' con le serie geometriche; utilizzando il suggerimento del testo si perde tutto il divertimento.
No, non sono un insegnate e sono uno di quegli strani individui che pensa che gli eserciziari non servano a nulla: secondo me occorre studiare bene la teoria ed il resto vien da sè
Ciò significa che il testo vuole che tu dimostri che la media è $1/p$ e la varianza è $(1-p)/p^2$
Vediamo come calcolare media e varianza della geometrica senza usare l'hint della traccia
Vediamo prima la media:
$E[X]=sum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(oo)d/(dq)q^x=pd/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=pd/(dq)q/(1-q)=p*1/[1-(1-p)]^2=p/p^2=1/p$
Vediamo ora la varianza:
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]$
$E[X^2]=sum_(x=1)^(oo)x^2q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)[x(x-1)+x]q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)x(x-1)q^(x-1)p+1/p=S+1/p$
concentriamoci sulla somma S:
$S=2pq+6pq^2+12pq^3+20pq^4+....$
moltiplichiamo ambo i membri per $q$ ottenendo
$Sq=2pq^2+6pq^3+12pq^4+20pq^5+....$
sottraiamo membro a membro ottenendo
$S(1-q)=2pq+4pq^2+6pq^3+.....$
raccogliamo ciò che possiamo raccogliere ed otteniamo così il momento secondo:
$E[X^2]=(2pq[1+2q+3q^2+4q^3+...])/(1-q)+1/p=(2qsum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)p)/(1-q)+1/p=(2qE[X])/(1-q)+1/p=2q/p^2+1/p$
e quindi, infine,
$V[X]=2q/p^2+1/p-1/p^2=(1-p)/p^2$
Come hai visto è solo questione di giocherellare un po' con le serie geometriche; utilizzando il suggerimento del testo si perde tutto il divertimento.
"Gianb24":
mi servirebbe un eserciziario o pdf con esercizi svolti, sapresti consigliarmene uno?
No, non sono un insegnate e sono uno di quegli strani individui che pensa che gli eserciziari non servano a nulla: secondo me occorre studiare bene la teoria ed il resto vien da sè
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