Metodo per calcolare pdf v.a. funzioni di v.a. con pdf nota
Ciao a tutti, sto cercando un po' dappertutto ma non riesco a trovare quale è il metodo per arrivare a calcolare la pdf di v.a. funzioni di v.a. con pdf nota. Ad esempio ho una $Y=\sum_{i=0}^n Xi$ in cui le $Xi\simN(\mu,\sigma^2)$ . Come trovo la pdf di $Y$ ?
Risposte
Io non conosco un metodo adatto a tutti i casi... Se per esempio le $n$ variabili aleatorie non sono indipendenti, poi...
Nel tuo casi specifico, se le $X_i$ sono normali e indipendenti, credo che la densità della somma sia $N(\mu_1+...+\mu_n,\sigma^2_1+...+\sigma^2_n)$.
Vedo nei miei libri polverosi che la cosa si dimostra con la funzione caratteristica...
Nel caso di due variabili aleatorie qualsiasi, ma sempre indipendenti e con densità, vale la formula della convoluzione... Che non so fino a che punto si possa estendere a $n>2$...
Attendo conferme, smentite e aggiunte dagli esperti.
Nel tuo casi specifico, se le $X_i$ sono normali e indipendenti, credo che la densità della somma sia $N(\mu_1+...+\mu_n,\sigma^2_1+...+\sigma^2_n)$.
Vedo nei miei libri polverosi che la cosa si dimostra con la funzione caratteristica...
Nel caso di due variabili aleatorie qualsiasi, ma sempre indipendenti e con densità, vale la formula della convoluzione... Che non so fino a che punto si possa estendere a $n>2$...
Attendo conferme, smentite e aggiunte dagli esperti.
si chiedo scusa per l'imprecisione.. le variabili considerate sono SEMPRE iid ma non solo normali, anche binomiali, gamma etc. Il fatto è che studiando statistiche sufficienti etc spesso devo trovare la pdf delle stat stesse e quindi mi serve capire come sono distribuite, un metodo insomma. Grazie.
esempio: su wikipedia per ogni distribuzione è scritto come si distribuiscono le combinazioni additive delle v.a.
-per la Poisson
"Più in generale, la somma $Y = Y_1 + ... + Y_n$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri $\lambda_1,...,\lambda_n$ segue una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda=lambda_1,...,\lambda_n$, mentre la distribuzione di $Y_1$ condizionata da $Y=n$ è la distribuzione binomiale di parametri $lambda_1/lambda$ e $n$."
come si arriva a ciò per tutte le distribuzioni?
esempio: su wikipedia per ogni distribuzione è scritto come si distribuiscono le combinazioni additive delle v.a.
-per la Poisson
"Più in generale, la somma $Y = Y_1 + ... + Y_n$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri $\lambda_1,...,\lambda_n$ segue una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda=lambda_1,...,\lambda_n$, mentre la distribuzione di $Y_1$ condizionata da $Y=n$ è la distribuzione binomiale di parametri $lambda_1/lambda$ e $n$."
come si arriva a ciò per tutte le distribuzioni?
"lemming78":
come si arriva a ciò per tutte le distribuzioni?
La legge della somma di $n$ variabili indipendenti è il prodotto di convoluzione delle leggi. Poi si usa la formula della densità del prodotto di convoluzione di due leggi, che, essendo (mi pare) associativo, è possibile estenderla (la formula) al caso di $n$ leggi, ma credo che non sempre si riescano a ottenere "cose belle" come succede nel caso di Poisson o normale o Gamma...
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