Metodo Massima Verosimiglianza:esercizio svolto
Salve volevo chiedervi una conferma su un esercizio che ho svolto. Spero possiate aiutarmi a capire se sia stato svolto in modo corretto.
Si consideri una variabile casuale X con funzione di densità data da:
$f(x;tau,theta)$=$ (Gamma(3)) / (Gamma(2))*(x/theta)^tau*(1-(x/theta)^tau)*tau/theta$
Scrivere:
a) la funzione di verosimiglianza
b)la funzione di log-verosimiglianza
Io ho risolto così.
Per quanto rigurada il punto a) ho proceduto in questo modo:
$L(x;tau,theta)$=$\prod_{i=1}^N f(x;tau,theta)$=$((prod_{i=1}^N x_i)/theta^n)^tau$*$(1-((prod_{i=1}^N x_i)/theta^n)^tau)$*$tau^n/(prod_{i=1}^N x_i)$
Per quanto riguarda il secondo punto b) bisognerebbe applicare il logaritmo alla funzione di verosimiglianza ottenendo:
$l(x;tau,theta)$=$tau sum(ln x_i)$-$tau n ln(theta)$-$tau sum(ln x_i)$+$tau n ln(theta)$+$n ln(theta) -sum ln x_i$ = $n ln(theta) -sum ln x_i$
Sono corretti?.
Grazie in anticipo a chiunque possa aiutarmi.
Si consideri una variabile casuale X con funzione di densità data da:
$f(x;tau,theta)$=$ (Gamma(3)) / (Gamma(2))*(x/theta)^tau*(1-(x/theta)^tau)*tau/theta$
Scrivere:
a) la funzione di verosimiglianza
b)la funzione di log-verosimiglianza
Io ho risolto così.
Per quanto rigurada il punto a) ho proceduto in questo modo:
$L(x;tau,theta)$=$\prod_{i=1}^N f(x;tau,theta)$=$((prod_{i=1}^N x_i)/theta^n)^tau$*$(1-((prod_{i=1}^N x_i)/theta^n)^tau)$*$tau^n/(prod_{i=1}^N x_i)$
Per quanto riguarda il secondo punto b) bisognerebbe applicare il logaritmo alla funzione di verosimiglianza ottenendo:
$l(x;tau,theta)$=$tau sum(ln x_i)$-$tau n ln(theta)$-$tau sum(ln x_i)$+$tau n ln(theta)$+$n ln(theta) -sum ln x_i$ = $n ln(theta) -sum ln x_i$
Sono corretti?.
Grazie in anticipo a chiunque possa aiutarmi.
Risposte
Ma sei sicuro della densità che hai scritto? Perchè è molto simile ad una beta con qualche modificazione; ed inoltre quale sarebbe il supporto della variabile?
A parte questo c'è un errore nella seconda produttoria:
$prod(1-a)$ non è uguale a $1-prod(a)$
A parte questo c'è un errore nella seconda produttoria:
$prod(1-a)$ non è uguale a $1-prod(a)$
Ehi ciao Dajeforte:)
Grazie per la tua risposta.
Allora la densità è quella che ho scritto; hai ragione a farmi notare che ho omesso di scrivere il supporto della variabile che è x in [0,1] con tau>0 e theta>0.
Per la produttoria una volta scrittala come $prod (1-(x_i/theta^n)^tau)$ sarebbe corretta la funzione di verosimiglianza e la relativa log verosimiglianza considerando il fatto che poi passando al logaritmo il log(1) è pari a zero e quindi non dovrebbe cambiare la scrittura della log-verosimiglianza.
E' comunque corretto scrivere così la verosimiglianza e la log-verosimiglianza una volta modificato la produttoria in questione?
Grazie per la tua risposta.
Allora la densità è quella che ho scritto; hai ragione a farmi notare che ho omesso di scrivere il supporto della variabile che è x in [0,1] con tau>0 e theta>0.
Per la produttoria una volta scrittala come $prod (1-(x_i/theta^n)^tau)$ sarebbe corretta la funzione di verosimiglianza e la relativa log verosimiglianza considerando il fatto che poi passando al logaritmo il log(1) è pari a zero e quindi non dovrebbe cambiare la scrittura della log-verosimiglianza.
E' comunque corretto scrivere così la verosimiglianza e la log-verosimiglianza una volta modificato la produttoria in questione?
No guarda c'è qualcosa che non va perchè quella integrata non fa 1 a meno che non scegli particolari valori dei parametri.
Quindi come dovrei scriverla?
Cosa ne so io, dipende dove hai trovato quella funzione.
Ti ho detto sembra simile ad una beta con parametri un po' diversi: prova a vedere se la parentesi di (1-(x/t)^T) non sia più grande (vedi se T eleva tutto) e vedi il supporto se magari non è [0,teta]. Sono supposizioni che mi vengono perchè sembra una beta (vattela a vedere confrontala e cerca l'errore).
Ti ho detto sembra simile ad una beta con parametri un po' diversi: prova a vedere se la parentesi di (1-(x/t)^T) non sia più grande (vedi se T eleva tutto) e vedi il supporto se magari non è [0,teta]. Sono supposizioni che mi vengono perchè sembra una beta (vattela a vedere confrontala e cerca l'errore).
Grazie per i suggerimenti
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