Metodo di Monte Carlo
Salve, sono nuovo qui, studio statistica al terzo anno. Adesso mi trovo alle prese con un esame di statistica computazionale e mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare a risolvere un esercizio sul metodo di MonteCarlo, che non ho ancora molto chiaro in realtà...
"""
1)Usando il MC method, descrivi come il seguente integrale possa essere approssimato
\[
f(t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{2\pi}\ \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\ \text{d} x
\]
2) ponendo t=0, quale sarebbe la N (sample size) ottimale per raggiungere una precisione di tre decimali?
"""
So che le regole dicono di cercare di abbozzare prima una possibile soluzione, ma davvero non ho idea di come procedere... se mi vorrete dare una mano ve ne sarò grati. Grazie in anticipo.
"""
1)Usando il MC method, descrivi come il seguente integrale possa essere approssimato
\[
f(t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{2\pi}\ \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\ \text{d} x
\]
2) ponendo t=0, quale sarebbe la N (sample size) ottimale per raggiungere una precisione di tre decimali?
"""
So che le regole dicono di cercare di abbozzare prima una possibile soluzione, ma davvero non ho idea di come procedere... se mi vorrete dare una mano ve ne sarò grati. Grazie in anticipo.
Risposte
Prova a vedere l'integrale come:
$ \Phi(t) = \int_{-\infty}^\{+infty} \frac{1}{2\pi}\ \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\ \mathbb{1}_{\{x \le t\}}\text{d} x = \text{E}(\mathbb{1}_{\{x \le t\}}) $
A questo punto una stimatore monte carlo è dato dalla media empirica dei valori minori di $t$ simulati da una normale standard.
Per la seconda domanda, puoi ragionare sul fatto che le variabili $\mathbb{1}_{\{x \le t\}}$ sono delle bernoulli di di parametro $\Phi(t)$. Puoi applicare quindi il teorema centrale limite e vedere quanti $n$ valori simulati ti servono (ad esempio con $t=0$, lo standard error è $1/{2\sqrt{n}}$ da cui ... )
$ \Phi(t) = \int_{-\infty}^\{+infty} \frac{1}{2\pi}\ \exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\ \mathbb{1}_{\{x \le t\}}\text{d} x = \text{E}(\mathbb{1}_{\{x \le t\}}) $
A questo punto una stimatore monte carlo è dato dalla media empirica dei valori minori di $t$ simulati da una normale standard.
Per la seconda domanda, puoi ragionare sul fatto che le variabili $\mathbb{1}_{\{x \le t\}}$ sono delle bernoulli di di parametro $\Phi(t)$. Puoi applicare quindi il teorema centrale limite e vedere quanti $n$ valori simulati ti servono (ad esempio con $t=0$, lo standard error è $1/{2\sqrt{n}}$ da cui ... )
grazie mille!!
Come mi ha fatto giustamente notare tommik, nel testo c'è $1/(2pi)$ e non $1/\sqrt(2\pi)$.
Immagino sia un refuso, in caso contrario il valore atteso di interesse per la simulazione sarebbe:
(ottenuto semplicemente moltiplicando e dividendo $\Phi(t)$ per $\sqrt(2pi)$)
$\text{E}(\mathbb{1}_\{{x \le t}\} 1/\sqrt(2pi))$
e di conseguenza dovresti considerare la varianza di questa variabile scalata per la seconda domanda.
Immagino sia un refuso, in caso contrario il valore atteso di interesse per la simulazione sarebbe:
(ottenuto semplicemente moltiplicando e dividendo $\Phi(t)$ per $\sqrt(2pi)$)
$\text{E}(\mathbb{1}_\{{x \le t}\} 1/\sqrt(2pi))$
e di conseguenza dovresti considerare la varianza di questa variabile scalata per la seconda domanda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo