Metodi di stima

[GioMGSV]

Sia (X1,...,Xn) un campione estratto casualmente e con ripetizione dalla seguente variabile casuale:

f(x;θ)= 1/θ per 0 0 altrove

a) Stimare il parametro θ con il metodo dei momenti;
b) Stimare il parametro θ con il metodo della massima verosimiglianza;
c) Avendo ottenuto la seguente realizzazione campionaria: (1; 7; 1), stabilire quale dei due metodi
fornisce una stima accettabile.

[Lo_zio_Tom]

il dominio della densità è sbagliato. Per poter risolvere l'esercizio deve essere così:

$0

ciò premesso vediamo come risolvere il problema

$f_(X)(x)={{: ( 1/theta , ;0

La variabile in oggetto è una Unifome continua. Per stimare $theta$ con il metodo dei momenti occorre prima di tutto esprimere il parametro da stimare in funzione dei momenti della distribuzione. Sappiamo che la media di questa distribuzione è $mu_(X)=theta/2$ e quindi

$theta=2mu_(X)$

utilizzando il metodo dei momenti, per trovare lo stimatore è sufficiente sostituire il momento della distribuzione con quello campionario ottenendo:

$hat(theta)_(MM)=2bar(x)$


Prima di calcolare lo stimatore con il metodo della massima verosimiglianza osserviamo che il modello descritto dalla distribuzione in oggetto è NON REGOLARE e quindi non è possibile stimare $theta$ derivando e poi azzerando la log-verosimiglianza. Procediamo quindi con il calcolo della verosimiglianza



$L(ul(X),theta)=1/theta^nI_(X_((n))<=theta)(x)$

essendo la funzione di verosimiglianza strettamente decrescente nel suo dominio, l'argmax della funzione sarà

$hat(theta)_(ML)=x_((n))$

ora vediamo cosa succede con la realizzazione campionaria trovata $(1;7;1)$

con il metodo della massima verosimiglianza otteniamo la seguente stima della funzione di densità:

$f_(X)(x)={{: ( 1/7 , ;0
con il metodo dei momenti otteniamo invece

$f_(X)(x)={{: ( 1/6 , ;0
quale delle due stime ti sembra accettabile?