Media, varianza e stimatori

[jejel1]

a partire da un campione ${X1, X2,... Xn}$ di ampiezza $n$ estratto dalla seguente funzione di densità di probabilità: $f(x)= 1/vartheta I(\vartheta, 2\vartheta) (x)$ con $vartheta>0$

verificare che sia una funzione di densità di probabilità ben posta e calcolare il valore atteso e la varianza di X, successivamente:
a)trovare lo stimatore di M.L di vartheta

per verificare che sia una funzione di densità ben posta:
$ ∫ 1/vartheta dx=1$ integrale che va da $vartheta, 2vartheta$
$x/vartheta$ = $2vartheta/vartheta-vartheta/vartheta=1$

il valore atteso corrisponde a:
$E[X]= ∫x*1/vartheta dx= x^2/2vartheta= 4vartheta^2/2vartheta- vartheta^2/2vartheta= 3/2vartheta$

la varianza corrisponde a:
$Var[X]= (2vartheta- vartheta)^2/12= vartheta^2/12$

Ora per quanto riguarda il punto a ho pensato di trovare la finzione di verosomiglianza che se non erro dovrebbe corrispondere alla funzione di ripartizione e in questo caso quindi dovrebbe essere $L[vartheta] = x/vartheta$ poi per semplicità si dovrebbe massimizzare il logaritmo di $L[vartheta]$ cioè $log x - log (1/vartheta)$ ora ci dovrebbe essere quella questione delle derivate che non riesco proprio a capire... qualcuno potrebbe illuminarmi e dirmi in primis se sbaglio qualcosa nel resto dell'esercizio??!? grazie in anticipo

[jejel1]

"Sergio":
Puoi piuttosto considerare che, poiché il valore minimo di $x_i$ è $\theta$ e quello massimo è $2\theta$, l'unica conclusione che puoi trarre è che \(\theta\in\left(x_{(n)}/2,x_{(1)}\right)\), dove \(x_{(1)}\) è il valore minimo tra quelli osservati e \(x_{(n)}\) è quello massimo:
\[
I_{(\theta,2\theta)}(x_i)=1\quad\Rightarrow\quad \theta \thetax_{(n)}/2
\]

ciò che non riesco ora a capire è come arrivare a \(\theta\in\left(x_{(n)}/2,x_{(1)}\right)\), devo sostituire $vartheta$ e $2vartheta$?? ma in che modo??

[jejel1]

Perfettoo!! la ringrazio per la delucidazione e per tutto il resto ovviamente.... A breve inserirò il calcolo dello stimatore con il metodo dei momenti se ha tempo mi piacerebbe ricevere ancora un suo parere

[jejel1]

ho provato a calcolare lo stimatore utilizzando il metodo dei momenti...
devo fare un'equazione tra momento campionario assoluto di ordine r e momento di ordine r che nella teoria sarebbe $mu^1(r)= M^1(r)$
$mu^1(r)= E[X^r]$
$M^1(r)= (1/n) sum X^r (i)$ sommatoria di i(1,n)

quindi nel mio caso ho:
$E[X]= (2theta+theta)/2= (3/2)theta$
$(3/2)theta= (1/n) sum X(i)$
$theta= (2/3n) sum X(i)$

Non so proprio se può errere corretto o meno aspetto vostri pareri graziee mille in anticipo

[jejel1]

ho bisogno di voiiiii!!