Media, varianza e densità condizionata

[bellrodo]

Ciao, spero che qualcuno possa darmi un input per poter impostare correttamente un esercizio che mi sta mettendo in difficoltà.

Sia $X~exp(3/2)$ e sia $Y|X~\Gamma(x^2,x)$.

$a) $ Calcolare $E(Y)$ e $Var(Y)$.
$b) $ Calcolare la funzione di densità congiunta di $X$ e $Y$.

Allora, per quanto riguarda il punto $a$, le formule per la media e la varianza condizionata le ho studiate ma non riesco a capire come applicarle in questo contesto.
In particolare, mi stanno mettendo in difficoltà i parametri della $\Gamma$.

Mentre, per il punto $b$ so che:

$f_X = 3/2e^{-3/2x}$;

$f_{Y|X}=(f_{X,Y})/(f_{X}) => f_{X,Y}=f_{Y|X}f_X$.

Ma non capisco come ricavare $f_{Y|X}$, sempre per lo stesso problema (parametri della $\Gamma$).

[markowitz]

"tommik":

Si considerino $ X_1,..,X_n $ variabili aleatorie i.i.d. con media $ mu $ e varianza $ sigma^2 $ ed una variabile aleatoria $ N $ discreta, indipendente dalle precedenti, a valori $ in {1,2,...,n} $.

E' anche possibile rilassare queste condizioni iniziali e dire:
Si considerino $ X_1,..,X_n $ variabili aleatorie incorrelate e con media $ mu $ e varianza $ sigma^2 $ comuni, ed una variabile aleatoria $ N $ discreta, incorrelata con le precedenti, a valori $ in {1,2,...,n} $.

senza modificare nulla del successivo svolgimento.