Media esponenziale
In una catena di montaggio, il tempo di assemblaggio di un esemplare di un certo prodotto e rappresentato da una v.a. T exp($ 1/3 $). Il tempo è misurato in minuti.
In media, quanti prodotti sono assemblati in un'ora?
Ebbene, essendo misurato il tempo in minuti, per calcolare in un'ora è sufficiente moltiplicare la media per 60? A dir la verità questo passaggio non mi convince più di tanto, spero che possiate darmi delucidazioni in merito.
Grazie in anticipo!
In media, quanti prodotti sono assemblati in un'ora?
Ebbene, essendo misurato il tempo in minuti, per calcolare in un'ora è sufficiente moltiplicare la media per 60? A dir la verità questo passaggio non mi convince più di tanto, spero che possiate darmi delucidazioni in merito.
Grazie in anticipo!
Risposte
Perche tu moltiplicheresti semplicemente per 60 la media?
Idea: Che distribuzione (e quindi che media) ha il tempo di creazione di $n$ oggetti? Puoi fare in minuti.
Idea: Che distribuzione (e quindi che media) ha il tempo di creazione di $n$ oggetti? Puoi fare in minuti.
"fu^2":
Perche tu moltiplicheresti semplicemente per 60 la media?
Idea: Che distribuzione (e quindi che media) ha il tempo di creazione di $n$ oggetti? Puoi fare in minuti.
Intendi dire una canonica esponenziale con parametri 1/3 e 60? O sono ancora fuori strada?
Ragiona per tappe.
1.
Una variabile aleatoria esponenziale ha un solo parametro, che in questo caso è 1/3.
2.
Se prendi $n$ oggetti il tempo dell' oggetto $i$ sarà dato dalla variabilile $T_i$. Dunque, il tempo totale sarà dato da che variabile aleatoria? Sarà sicuramente una funzione di $T_1,...,T_n$.
1.
Una variabile aleatoria esponenziale ha un solo parametro, che in questo caso è 1/3.
2.
Se prendi $n$ oggetti il tempo dell' oggetto $i$ sarà dato dalla variabilile $T_i$. Dunque, il tempo totale sarà dato da che variabile aleatoria? Sarà sicuramente una funzione di $T_1,...,T_n$.
"fu^2":
Ragiona per tappe.
1.
Una variabile aleatoria esponenziale ha un solo parametro, che in questo caso è 1/3.
2.
Se prendi $ n $ oggetti il tempo dell' oggetto $ i $ sarà dato dalla variabilile $ T_i $. Dunque, il tempo totale sarà dato da che variabile aleatoria? Sarà sicuramente una funzione di $ T_1,...,T_n $.
Opterei per una densità Gamma, ma non so con che parametro alfa, che dovrebbe essere una somma di esponenziali e dunque dei tempi. Mi sono avvicinato alla soluzione?
no. E' una poisson
Premesso che l'esercizio potrebbe essere anche risolto come volevi fare tu, ovvero:
dato che $T~ Exp(1/3)$ ciò significa che la media è $E(T)=3$ minuti per ogni pezzo. Quindi in un'ora verranno mediamente prodotti $60/3=20$ pezzi.
Tu invece volevi fare $60\cdot3=180$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
[strike]Ciò che ti voleva dire fu^2 (e che è il metodo più corretto) è che[/strike] la distribuzione esponenziale rappresenta gli interarrivi di un processo di poisson
Quindi possiamo dire che gli arrivi poissoniani del processo sono $1/3$ al minuto, ovvero per ogni minuto abbiamo una distribuzione $Po(1/3)$
Se consideriamo che la somma di $n$ variabili $Po(lambda)$ indipendenti è ancora una poisson di parametro $nlambda$ allora possiamo dire che in un'ora avremo la somma di 60 poissoniane indipendenti tutte di parametro $1/3$
....e quindi otteniamo che la distribuzione degli arrivi in un'ora è $Po(60\cdot1/3)=Po(20)$
è chiaro ora?
PS: che studi fai?
ti faccio notare che l'esponenziale negativa E' UNA GAMMA, e precisamente una $G(1,lambda)$
ciao
Premesso che l'esercizio potrebbe essere anche risolto come volevi fare tu, ovvero:
dato che $T~ Exp(1/3)$ ciò significa che la media è $E(T)=3$ minuti per ogni pezzo. Quindi in un'ora verranno mediamente prodotti $60/3=20$ pezzi.
Tu invece volevi fare $60\cdot3=180$
"simonesimo97":
Ebbene, essendo misurato il tempo in minuti, per calcolare in un'ora è sufficiente moltiplicare la media per 60?
[strike]Ciò che ti voleva dire fu^2 (e che è il metodo più corretto) è che[/strike] la distribuzione esponenziale rappresenta gli interarrivi di un processo di poisson
Quindi possiamo dire che gli arrivi poissoniani del processo sono $1/3$ al minuto, ovvero per ogni minuto abbiamo una distribuzione $Po(1/3)$
Se consideriamo che la somma di $n$ variabili $Po(lambda)$ indipendenti è ancora una poisson di parametro $nlambda$ allora possiamo dire che in un'ora avremo la somma di 60 poissoniane indipendenti tutte di parametro $1/3$
....e quindi otteniamo che la distribuzione degli arrivi in un'ora è $Po(60\cdot1/3)=Po(20)$
è chiaro ora?
PS: che studi fai?
ti faccio notare che l'esponenziale negativa E' UNA GAMMA, e precisamente una $G(1,lambda)$
ciao
La funzione Gamma se vuoi c'entra!, ti sei avvicinato. Dal momento che tommik ha proposto una bella soluzione ti propongo una strada alternativa (che ovviamente è analoga) senza usare la parola processi di Poisson .
Se $T_i$ è il tempo per preparare l'$i$-esimo oggetto, si ha che il tempo totale è dato da $T_1+...+T_n$ (in quanto produci in serie (*) ).
La distribuzione di $T_1+...+T_n$ è una $\Gamma(n,1/3)$. Il tempo medio per produrre $n$-oggetti sarà dunque $3n$. Ora se il tempo totale è un'ora hai l'equazione $3n=60$, i.e., $n=20$.
EDIT: ti faccio notare che per affermare che $T_1+...+T_n$ ha una distribuzione $\Gamma(n,1/3)$, stai usando l'ipotesi (implicita nel problema) che le $T_i$ sono indipendenti. In verità per ottenere il risultato non occorre fare questa ipotesi, perché?
--------------------
(*) se produco in "parallelo" in media ottengo più o meno pezzi all'ora?
. "tommik":
Ciò che ti voleva dire fu^2 (e che è il metodo più corretto) è che la distribuzione esponenziale rappresenta gli interarrivi di un processo di poisson
Se $T_i$ è il tempo per preparare l'$i$-esimo oggetto, si ha che il tempo totale è dato da $T_1+...+T_n$ (in quanto produci in serie (*) ).
La distribuzione di $T_1+...+T_n$ è una $\Gamma(n,1/3)$. Il tempo medio per produrre $n$-oggetti sarà dunque $3n$. Ora se il tempo totale è un'ora hai l'equazione $3n=60$, i.e., $n=20$.
EDIT: ti faccio notare che per affermare che $T_1+...+T_n$ ha una distribuzione $\Gamma(n,1/3)$, stai usando l'ipotesi (implicita nel problema) che le $T_i$ sono indipendenti. In verità per ottenere il risultato non occorre fare questa ipotesi, perché?
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(*) se produco in "parallelo" in media ottengo più o meno pezzi all'ora?
"fu^2":
...ti propongo una strada alternativa
interessante....
"fu^2":
EDIT: ti faccio notare che per affermare che $T_1+...+T_n$ ha una distribuzione $\Gamma(n,1/3)$, stai usando l'ipotesi (implicita nel problema) che le $T_i$ sono indipendenti. In verità per ottenere il risultato non occorre fare questa ipotesi, perché?
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(*) se produco in "parallelo" in media ottengo più o meno pezzi all'ora?
la prima domanda mi è chiara....per la seconda mi stai dicendo che devo calcolare la media della distribuzione del massimo?
"tommik":
no. E' una poisson
Premesso che l'esercizio potrebbe essere anche risolto come volevi fare tu, ovvero:
dato che $ T~ Exp(1/3) $ ciò significa che la media è $ E(T)=3 $ minuti per ogni pezzo. Quindi in un'ora verranno mediamente prodotti $ 60/3=20 $ pezzi.
Questa cosa del processo di Poisson l'avevo studiata superficialmente ma sembra essere alquanto importante!
"fu^2":
Se $ T_i $ è il tempo per preparare l'$ i $-esimo oggetto, si ha che il tempo totale è dato da $ T_1+...+T_n $ (in quanto produci in serie (*) ).
La distribuzione di $ T_1+...+T_n $ è una $ \Gamma(n,1/3) $. Il tempo medio per produrre $ n $-oggetti sarà dunque $ 3n $. Ora se il tempo totale è un'ora hai l'equazione $ 3n=60 $, i.e., $ n=20 $.
Grazie ad entrambi
Ciao,
penso ci siano da distinguere due quantita'. Una e':
1) $f_n(t)$, t.c. $f_n(t) dt$ e' la probabilita' che fissato un $n$, i primi $n$ oggetti siano fatti nell'intervallo di tempo $(t,t+dt)$ ;
2) $g_t(n)$ uguale alla probabilita' che fissato un $t$, prima del tempo $t$ siano stati fatti esattamente $n$ oggetti ;
mi pare fu^2 che tu ti stia concentrando sulla prima funzione, mentre il problema sarebbe piu' legato alla seconda.
Poi il risultato siamo d'accordo e' quello ma giusto per essere precisi... Non ho ancora fatto il calcolo per vedere se queste funzioni sono sempre uguali o se lo sono perlomeno in questo problema. A priori non mi risulta evidente...
penso ci siano da distinguere due quantita'. Una e':
1) $f_n(t)$, t.c. $f_n(t) dt$ e' la probabilita' che fissato un $n$, i primi $n$ oggetti siano fatti nell'intervallo di tempo $(t,t+dt)$ ;
2) $g_t(n)$ uguale alla probabilita' che fissato un $t$, prima del tempo $t$ siano stati fatti esattamente $n$ oggetti ;
mi pare fu^2 che tu ti stia concentrando sulla prima funzione, mentre il problema sarebbe piu' legato alla seconda.
Poi il risultato siamo d'accordo e' quello ma giusto per essere precisi... Non ho ancora fatto il calcolo per vedere se queste funzioni sono sempre uguali o se lo sono perlomeno in questo problema. A priori non mi risulta evidente...
"Thomas":
Ciao,
penso ci siano da distinguere due quantita'. Una e':
1) $f_n(t)$, t.c. $f_n(t) dt$ e' la probabilita' che fissato un $n$, i primi $n$ oggetti siano fatti nell'intervallo di tempo $(t,t+dt)$ ;
2) $g_t(n)$ uguale alla probabilita' che fissato un $t$, prima del tempo $t$ siano stati fatti esattamente $n$ oggetti ;
mi pare fu^2 che tu ti stia concentrando sulla prima funzione, mentre il problema sarebbe piu' legato alla seconda.
Poi il risultato siamo d'accordo e' quello ma giusto per essere precisi... Non ho ancora fatto il calcolo per vedere se queste funzioni sono sempre uguali o se lo sono perlomeno in questo problema. A priori non mi risulta evidente...
Ciao Thomas, la tua osservazione è ottima e merita una bella spiegazione (spero di esserne capace
). Per curiosità che studi fai/hai fatto?Descriviamo bene il problema: al tempo $0$ inizio a costruire il primo oggetto, esso avrà un tempo di costruzione $T_1$. Quando ho finito inizio a costruire il secondo oggetto, che avrà tempo $T_2$ etc. In generale il $k$-esimo oggetto sarà finito di costruire dopo un tempo $S_k:=T_1+...+T_k$. Supponiamo che se inizio a costruire un oggetto subito prima dello scoccare dell'ora, lo termino.
La variabile naturale da considerare per contare quanti oggetti abbiamo costruito è
$\tau:=\text{inf}\{k\in \mathbb{N} : S_k \geq 60\}$
e lo scopo del problema è trovare $\mathbb{E}(\tau)$.
Abbiamo due modi di risolvere il problema:
(1) riformulazione dell'approccio di tommik
Osservando che $\mathbb{P}(\tau=k)=\mathbb{P}(S_{k} \geq 60, S_{k-1}< 60)$, puoi dedurre che $\tau$ ha una distribuzione di Poisson di parametro $\frac{1}{3} 60=20$ (legame con tommik: la distanza tra $S_{k-1}$ e $S_k$ è un interarrivo di un processo di Poisson). Il problema finisce qua, in quanto $\mathbb{E}(\tau)=20$.
(2) Approccio usato da me:
Per prima cosa ho calcolato $\mathbb{E}(S_N)=N\mathbb{E}(Y_1)=3N$. Poi ho ottimizzato sugli $N$ per trovare la soluzione, i.e. $N=20$.
Quale è il legame tra i due? sono equivalenti? La risposta sta nel lemma di Wald https://en.wikipedia.org/wiki/Wald's_equation , il quale dice (sotto le ipotesi che puoi vedere sulla pagina Wikipedia che ti ho postato) che $\mathbb{E}(S_{\tau})=\mathbb{E}(\tau)\mathbb{E}(Y_1)=3\mathbb{E}(\tau)$ (*). Questo implica, in particolare, che $\mathbb{E}(S_{\tau})=\mathbb{E}(S_{\mathbb{E}(\tau)})$.
Da questo punto di vista il procedimento (2) può essere riscritto così: Non cerco direttamente la distribuzione di $\tau$ e pongo $N=\mathbb{E}(\tau)$. Per il lemma di Wald, cf. (*), hai che $\mathbb{E}(S_N)=3N= \mathbb{E}(S_{\tau})\geq 60$, in quanto $S_{\tau}\geq 60$ per definizione. A questo punto cerchi la più piccola $N$ che ottimizza la disuguaglianza, da cui $N=20$. Da qui il legame tra gli approcci (1) e (2). In questo caso sono equivalenti. L'equivalenza sta nel fatto che, in questo caso, $S_{\tau}$ "non è molto distante" da $S_{\mathbb{E}(\tau)}$ per il lemma di Wald, in particolare hanno uguale speranza.
Ciao fu^2 grazie mille per la spiegazione molto interessante questo lemma di Wald!
Mi confonde in realtà ora il fatto che $\mathbb{E}[\tau]$ non è a priori intero (una variabili che assume valori intero può avere valore di aspettazione non intero) e quindi $S_{\mathbb{E}[\tau]}$ tecnicamente non è stato definito...Inoltre non ho ben capito cosa intendi fare quando vuoi ottimizzare la disuguaglianza, prima dici che fissi $N$ uguale al valore di aspettazione di $\tau$ ($N$ che potrebbe essere non intero) e poi lo ottimizzi? Potresti chiarirmi il procedimento?
Mi confonde in realtà ora il fatto che $\mathbb{E}[\tau]$ non è a priori intero (una variabili che assume valori intero può avere valore di aspettazione non intero) e quindi $S_{\mathbb{E}[\tau]}$ tecnicamente non è stato definito...Inoltre non ho ben capito cosa intendi fare quando vuoi ottimizzare la disuguaglianza, prima dici che fissi $N$ uguale al valore di aspettazione di $\tau$ ($N$ che potrebbe essere non intero) e poi lo ottimizzi? Potresti chiarirmi il procedimento?
Si, per definire $S_{\mathbb{E}(\tau) }$ devi prendere la parte intera di $\mathbb{E}(\tau)$ ma questo non è un problema : anche con l'altro metodo (1) hai lo stesso problema e devi prendere la parte intera di $\mathbb{E}(\tau)$.
Ottimizzare vuol dire che io ho fissato $N$ e la formula che ho trovato è vera per qualunque $N$ e mi da il numero di oggetti costruiti in media in un tempo $3N$. A questo punto so che per qualunque $N$ che ho fissato ho che $3N \geq 60$, a questo punto ho la libertà di sceglierlo uguale a $60$. Ovviamente se al posto di $3$ avessi avuto un numero non divisore di $60$, che so $29$, la scelta di $N$ sarebbe stata condizionata a prendere il numero intero più vicino a $60/29$ ($N$ è, in accordo con le righe sopra, la parte intera di $\mathbb{E}(\tau)$.
Ottimizzare vuol dire che io ho fissato $N$ e la formula che ho trovato è vera per qualunque $N$ e mi da il numero di oggetti costruiti in media in un tempo $3N$. A questo punto so che per qualunque $N$ che ho fissato ho che $3N \geq 60$, a questo punto ho la libertà di sceglierlo uguale a $60$. Ovviamente se al posto di $3$ avessi avuto un numero non divisore di $60$, che so $29$, la scelta di $N$ sarebbe stata condizionata a prendere il numero intero più vicino a $60/29$ ($N$ è, in accordo con le righe sopra, la parte intera di $\mathbb{E}(\tau)$.
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