Media e varianza di una variabile che è differenza di binomiali
Sia Xn la differenza tra il numero di teste Tn e delle croci Cn, in n lanci di una moneta equa.
1. Calcolare media e varianza.
2. Se n è pari calcolare P(Xn=0).
Il mio ragionamento:
1-Sia $ T=T_1+...+T_n $ e $ C=C_1+...+Cn $
$ T_i { ( 1),( 0):} e C_i={ ( 1 ),( 0):} $ se è uscito testa o croce rispettivamente con probabilità 1\2
essendo $ E[Tn]=np=n//2 $ e $ E[Cn]=np=n//2 $
$ E[X_n]=E[Tn]-E[Cn]=0 $
essendo la varianza di una binomiale = np(1-p) allora anche la differenza delle varianz è zero?
2-P(X=0)=P(x=E[x])
pensavo di applicare il teorema del limite centrale in questo modo:
$ P{(X_1+...+X_n-n*u)/(n^(1/2)var(X)^(1/2))<=0}->phi (0)=1\\2 $
è corretto?
Grazie a tutti!
1. Calcolare media e varianza.
2. Se n è pari calcolare P(Xn=0).
Il mio ragionamento:
1-Sia $ T=T_1+...+T_n $ e $ C=C_1+...+Cn $
$ T_i { ( 1),( 0):} e C_i={ ( 1 ),( 0):} $ se è uscito testa o croce rispettivamente con probabilità 1\2
essendo $ E[Tn]=np=n//2 $ e $ E[Cn]=np=n//2 $
$ E[X_n]=E[Tn]-E[Cn]=0 $
essendo la varianza di una binomiale = np(1-p) allora anche la differenza delle varianz è zero?
2-P(X=0)=P(x=E[x])
pensavo di applicare il teorema del limite centrale in questo modo:
$ P{(X_1+...+X_n-n*u)/(n^(1/2)var(X)^(1/2))<=0}->phi (0)=1\\2 $
è corretto?
Grazie a tutti!
Risposte
La soluzione è completamente sbagliata.
Intanto se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti $ V (X-Y)= V (X)+ V(Y)$
Ciò in quanto $ V(aX)=a^2V (X) $.
Il problema è che nel tuo esempio le variabili non sono indipendenti. Infatti lanciando n volte la moneta ($ n>=2$) se escono $k$ teste necessariamente dovranno presentarsi $(n-k)$ croci.
A conti fatti, posto $ Z= T-C $ otteniamo
$ E (Z)=0$ (ti viene giusto; non so se hai considerato che una è una $B(n,k)$ mentre l'altra $B(n,n-k)$)
$ V (Z)=n $
Anche il punto 2) è sbagliato. Non ha alcun senso (anzi, fa senso) il tentativo di utilizzare il TLC in questo esercizio, che tra l'altro è applicato in maniera del tutto errata.
Ti consiglio quindi di studiare bene la teoria prima di buttarti a capofitto nella risoluzione degli esercizi.
L'esercizio ti chiede la probabilità che, su $ n $ lanci (pari) vi siano $ n/2$ teste. Quindi si risolve subito semplicemente con la binomiale. Sei d'accordo che tale probabilità non può essere indipendente dal numero di lanci della moneta?
Ps anche io sono curioso di sapere cosa studi. ..la settimana scorsa hai postato un quesito che si può trovare sulle prove invalsi di terza media. ..oggi posti quesiti che implicano conoscenze sulla generazione di numeri pseudocasuali e questo su variabili non indipendenti (già abbastanza articolato) ma senza conoscere le proprietà basilari della varianza. ...ti chiedo questo non per mera curiosità ma per il fatto che le risposte vengono modulate in base alle conoscenze dell'utente.
Cordialmente...
Intanto se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti $ V (X-Y)= V (X)+ V(Y)$
Ciò in quanto $ V(aX)=a^2V (X) $.
Il problema è che nel tuo esempio le variabili non sono indipendenti. Infatti lanciando n volte la moneta ($ n>=2$) se escono $k$ teste necessariamente dovranno presentarsi $(n-k)$ croci.
A conti fatti, posto $ Z= T-C $ otteniamo
$ E (Z)=0$ (ti viene giusto; non so se hai considerato che una è una $B(n,k)$ mentre l'altra $B(n,n-k)$)
$ V (Z)=n $
Anche il punto 2) è sbagliato. Non ha alcun senso (anzi, fa senso) il tentativo di utilizzare il TLC in questo esercizio, che tra l'altro è applicato in maniera del tutto errata.
Ti consiglio quindi di studiare bene la teoria prima di buttarti a capofitto nella risoluzione degli esercizi.
L'esercizio ti chiede la probabilità che, su $ n $ lanci (pari) vi siano $ n/2$ teste. Quindi si risolve subito semplicemente con la binomiale. Sei d'accordo che tale probabilità non può essere indipendente dal numero di lanci della moneta?
Ps anche io sono curioso di sapere cosa studi. ..la settimana scorsa hai postato un quesito che si può trovare sulle prove invalsi di terza media. ..oggi posti quesiti che implicano conoscenze sulla generazione di numeri pseudocasuali e questo su variabili non indipendenti (già abbastanza articolato) ma senza conoscere le proprietà basilari della varianza. ...ti chiedo questo non per mera curiosità ma per il fatto che le risposte vengono modulate in base alle conoscenze dell'utente.
Cordialmente...
Innanzitutto grazie per la risposta e i consigli. Io devo sostenere un esame di probabilità 1.Non avendo potuto seguire le lezioni, ho trovato il programma da studiare sul sito del professore ma purtroppo nessuna dispensa o esercizi da svolgere. Mi sono messa così a svolgere gli esercizi che ho trovato sul web nel sito di altre facoltà cercando di arrivarci con la teoria che avevo a disposizione. Ogni tanto sono entrata sul forum per avere qualche consiglio , cercando esercizi affini e avere qualche illuminazione.Tutto qui 
Se avete un libro di testo migliore o più chiaro di "Calcolo delle pRobabilità" di M.Ross e qualche suggerimento su come studiare questi argomenti è tutto ben accetto!
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