Media e varianza di trasformata

[frasorr]

la traccia è la seguente:

Si calcoli la media e la varianza della v.a. $Y=e^(aX)$ dove X è una binomiale di parametri n e p.
Si ricordi che $∑(n p) p^x (1-p)^(n-x)=[p+(1-p)]^n$

io l'ho svolto in questo modo e vorrei sapere se è corretto, è molto importante, ho l'esame domani!
$E(Y) = E(e^(aX))= ∑e^(aX) P(x) = ∑e^(aX) (n p) p^x (1-p)^(n-x) = ∑ (n p) (e^(ax) p) ^x (1-p)^n-x$
$∑(n p) p^x (1-p)^(n-x) = [p+(1-p)]^n $
$∑(n p) (e^a p )^x (1-p)^n-x = [e^a p + (1-p)]^n $
$E(Y)=[e^a p + (1-p)]^n$
$Var(Y) = E( e^(2ax)) – [E(e^(ax))]^2 = [e^2° p + (1-p)]^2n$
Quando scrivo (n p ) dovrei scriverlo in verticale ma non so farlo

[retrocomputer]

"francescas88":
$E(Y) = E(e^(aX))= ∑e^(aX) P(x) = ∑e^(aX) (n p) p^x (1-p)^(n-x) = ∑ (n p) (e^(ax) p) ^x (1-p)^n-x$
$∑(n p) p^x (1-p)^(n-x) = [p+(1-p)]^n $
$∑(n p) (e^a p )^x (1-p)^n-x = [e^a p + (1-p)]^n $
$E(Y)=[e^a p + (1-p)]^n$

A parte qualche errore nello scrivere le formule e qualche notazione sbagliata (tipo confondere a volte la variabile aleatoria $X$ con la variabile numerica $x$ o scrivere $P(x)$ che sembra la probabilità di un numero...), il procedimento e il risultato mi sembrano esatti.

$Var(Y) = E( e^(2ax)) – [E(e^(ax))]^2 = [e^2° p + (1-p)]^2n$

Questo invece non mi torna... A parte l'errore di mettere la $x$ minuscola, secondo me il risultato di $E[e^(2aX)]$ non risulta elevato alla $2n$, ma alla $n$, no?

Quando scrivo (n p ) dovrei scriverlo in verticale ma non so farlo

$((n),(p))$ e si scrive ((n),(p)) tra due simboli di dollaro.
Comunque secondo me la formula del binomio di Newton contiene $((n),(x))$ e non $((n),(p))$...