Media e Matrice delle covarianze (X,Y)

[Matteo Gobbi]

Il mio esercizio mi da X e Y variabile alatorie congiunte e mi chide di calcolare tra le altre cose la
"Media e Matrice delle covarianze (X,Y)" , malgrado il mio libro sia stato scelto dalla prof universitaria, non ci sono molte cose, tra cui le congiunte..
sapete come fare voi?

THX

[_Tipper]

È nota la densità di probabilità congiunta?

[elgiovo]

La matrice di covarianza di due v.a. è $((E_(X)[(X-eta_X)^2],E_(XY)[(Y-eta_X)(Y-eta_Y)]),(E_(XY)[(Y-eta_X)(Y-eta_Y)],E_(Y)[(Y-eta_Y)^2]))=((sigma_X^2, rho sigma_X sigma_Y),(rho sigma_X sigma_Y, sigma_Y^2))$.

EDIT: Scusami Tipper, non avevo visto il tuo intervento.

[Matteo Gobbi]

"Tipper":È nota la densità di probabilità congiunta?

si è nota, help grazie!

@elgiovo: come mi calcolo tutta qualla roba?? puoi spiegarmi dettagliatamente perchè come ti dicevo di densita congiunte non ho nulla sul libro..e poi la media??

[_Tipper]

Figurati elgiovo.

[Matteo Gobbi]

"Tipper":Figurati elgiovo.

ehm, puoi rispondermi ora

[elgiovo]

La formula generale del momento centrato misto di ordine $m,n$ è $mu_(mn)=E_(XY)[(X-eta_X)^m(Y-eta_Y)^n]=int int_(RR^2) (x-eta_X)^m (y-eta_Y)^n f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$.
Hai che $sigma_X^2=mu_(20)$, $sigma_Y^2=mu_(02)$, $C_(XY)=mu_(11)$, $rho_(XY)=(C_(XY))/(sigma_Xsigma_Y)$. Le medie invece sono momenti non centrati di ordine $0,1$ (per $eta_Y$) e $1,0$ (per $eta_X$).

[Matteo Gobbi]

"elgiovo":La formula generale del momento centrato misto di ordine $m,n$ è $mu_(mn)=E_(XY)[(X-eta_X)^m(Y-eta_Y)^n]=int int_(RR^2) (x-eta_X)^m (y-eta_Y)^n f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$.
Hai che $sigma_X^2=mu_(20)$, $sigma_Y^2=mu_(02)$, $C_(XY)=mu_(11)$, $rho_(XY)=(C_(XY))/(sigma_Xsigma_Y)$. Le medie invece sono momenti non centrati di ordine $0,1$ (per $eta_Y$) e $1,0$ (per $eta_X$).

scusa ma cosi non ci capisco nulla..mi dispiace...mi hai scritto mille incognite e formule che non mi dicono praticamente nulla o quasi

[elgiovo]

In realtà dicono tutto, per cui sforzati di capire che cosa ho scritto o non troverai mai la matrice che cerchi. Ti assicuro che ho semplificato al massimo, si tratta di sostituire ad $m,n$ i numeri che ti servono e poi calcolare gli integrali. Se vuoi posso aggiungere la formula per $eta_X=E_(XY)[X^1 Y^0]=E_X[X]=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(oo) x f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$ (quella per $eta_Y$ è analoga). Non mi pare di aver scritto in arabo.

[Matteo Gobbi]

Se scrivi ad uno che non sa nulla di congiunte si è arabo, cmq ora ho capito un po, da quella formula capisco come trovare l'attesa di X e di Y giusto? Cmq presuppongo che avendo le marginali posso travare le attese e le varianze (per calcolarmi la matrice) cosi dimmi se è giusto:

$E(X) = int_(-oo)^(oo) x f_(X)(x)"d"x$
$E(Y) = int_(-oo)^(oo) y f_(Y)(y)"d"y$
$Var(X) = int_(-oo)^(oo) x^2 f_(X)(x)"d"x$
$Var(Y) = int_(-oo)^(oo) y^2 f_(Y)(y)"d"y$

Mi rimane poi cmq la media..che non so minimamente cosa sia e come calcolarla..non è che per media si intende il valore atteso?

[elgiovo]

Le formule per le medie sono corrette. Quelle per le varianze invece no: tieni presente che la varianza è un momento del secondo ordine centrato, quindi la formula corretta è $"Var"[X]=int_(-oo)^(oo) (x-E[X])^2 f_X(x)"d"x$. Per media credo proprio che si intendano $E[X]$ ed $E[Y]$, non esiste una media di due v.a. Il primo momento (non centrato) che tiene conto di entrambe le v.a. è la cross-correlazione $R_(XY)=m_(11)=E[XY]=int int_(RR^2) xy f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$.

[Matteo Gobbi]

ok ti ringrazio, domani mattina provo questi calcoli e ti faccio sapere!