Media e funzione generatrice

[Claudia87an]

Se $f(x)$ è la funzione generatrice di una variabile aleatoria $X$ e se questa variabile aleatoria ha media finita $\mathbb{E}(X)$ allora si ha che $\f'(1)=\mathbb{E}(X)$ ma se la media è infinita come faccio a dire che il seguente limite :
$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}$ vale $+\infty$

[retrocomputer]

Il limite in questione è un limite sinistro e se è $+oo$, allora la speranza è infinita. Dov'è il problema?

[Claudia87an]

Si, il limite è un limite sinistro.
Il problema è che io ho studiato un teorema in cui si dimostra che se $\mathbb{E}(X)<+\infty$ allora la funzione generatrice $f(x)$ è derivabile in $1$ e vale che $\mathbb{E}(X)=f'(1)$ ma se la media è infinita non ho la dimostrazione che il limite del rapporto incrementale è $+\infty$.
Siccome nella dimostrazione che ho studiato io quando $\mathbb{E}(X)<+\infty$ si usa il teorema del limite della derivata non mi sembra si possa estendere al caso in cui la media è infinita mi chiedevo se su internet c'è da qualche parte una dimostrazione del genere con il rapporto incrementale.

[retrocomputer]

Ah, ho capito. Ma il teorema che conosco io dice che la $f$ è derivabile solo in $[0,1[$ e, sempre in $[0,1[$, la derivata è positiva e crescente quindi ammette limite sinistro in $1$.
Quello che tu chiami $f'(1)$ a me risulta essere tale limite sinistro e non la derivata di $f$ in $1$.
Il teorema che hai visto tu che dice esattamente?