Media di un'esponenziale
Salve, sto svolgendo un esercizio sulle martingale ed ho un dubbio che vorrei risolvere.
L'esercizio mi da il seguente processo $(M_n)_(n>=1)$ definito da: $M_n = e^(-n/2) * e^(X_1) *....* e^(X_n)$ dove la filtrazione è quella generata dagli $X_1, ..., X_n$ ed $X_n$ con n>=1 è una successione di v.a. i.i.d Gaussiane standard.
Ora, a risolvere i punti che mi venivano richiesti nell'esercizio non ho avuto nessun problema, non mi è chiara solo una cosa.
Per dimostrare che il processo dato è una martingala, quando vado a verificare l'integrabilità considero quindi $E[|M_n|]$ e dopo vari passaggi, utilizzando il fatto che sono indipendenti ed il processo è positivo, arrivo al punto di avere:
= $e^(-n/2) * (E[e^(X_1)])^n$ e qui utilizza un fatto che non mi è chiaro oppure non ricordo proprio e non trovo fra i vari quaderni, siccome so che la $X_1$ è una gaussiana standard ed utilizzando il fatto che $E[e^(n*N(0,1))] = e^(n^2/2)$ si ottiene il risultato ecc.. Ecco ora non mi è chiaro proprio questo fatto: $E[e^(n*N(0,1))] = e^(n^2/2)$, perché si può dire questo?
L'esercizio mi da il seguente processo $(M_n)_(n>=1)$ definito da: $M_n = e^(-n/2) * e^(X_1) *....* e^(X_n)$ dove la filtrazione è quella generata dagli $X_1, ..., X_n$ ed $X_n$ con n>=1 è una successione di v.a. i.i.d Gaussiane standard.
Ora, a risolvere i punti che mi venivano richiesti nell'esercizio non ho avuto nessun problema, non mi è chiara solo una cosa.
Per dimostrare che il processo dato è una martingala, quando vado a verificare l'integrabilità considero quindi $E[|M_n|]$ e dopo vari passaggi, utilizzando il fatto che sono indipendenti ed il processo è positivo, arrivo al punto di avere:
= $e^(-n/2) * (E[e^(X_1)])^n$ e qui utilizza un fatto che non mi è chiaro oppure non ricordo proprio e non trovo fra i vari quaderni, siccome so che la $X_1$ è una gaussiana standard ed utilizzando il fatto che $E[e^(n*N(0,1))] = e^(n^2/2)$ si ottiene il risultato ecc.. Ecco ora non mi è chiaro proprio questo fatto: $E[e^(n*N(0,1))] = e^(n^2/2)$, perché si può dire questo?
Risposte
"daenerys":
Ecco ora non mi è chiaro proprio questo fatto: $E[e^(n*N(0,1))] = e^(n^2/2)$, perché si può dire questo?
$E[e^(nX)]=int_ (-oo)^(+oo)e^(nx)1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)dx=$
$=int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)e^(-1/2(x^2-2nx+n^2))*e^(n^2/2)dx=$
$=e^(n^2/2)int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)e^(-1/2(x-n)^2)dx=e^(n^2/2)$
Fine
Grazie!
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