Media di somma di v.a. al quadrato
Salve, potete dirmi quali proprietà vengono applicate in questo esercizio?:
Testo:
"Siano $X_1, ..., X_n$ variabili aleatorie indipendenti con media 0 e varianza 1. Calcolare la media di $(c_1X_1+...+c_nX_n)^2$, con $c_1,...,c_n in RR$".
Soluzione:
"$E[(\sum_ic_iX_i)^2]=\sum_(i,j)c_ic_jE[X_iX_j]=\sum_(i!=j)c_ic_jE[X_i]E[X_j] + \sum_ic_i^2=\sum_ic_i^2$."
Grazie.
Testo:
"Siano $X_1, ..., X_n$ variabili aleatorie indipendenti con media 0 e varianza 1. Calcolare la media di $(c_1X_1+...+c_nX_n)^2$, con $c_1,...,c_n in RR$".
Soluzione:
"$E[(\sum_ic_iX_i)^2]=\sum_(i,j)c_ic_jE[X_iX_j]=\sum_(i!=j)c_ic_jE[X_i]E[X_j] + \sum_ic_i^2=\sum_ic_i^2$."
Grazie.
Risposte
la prima eguaglianza è il mero sviluppo di un quadrato in formula di sommatoria e tenendo conto di proprietà di linearità
la seconda eguaglianza ha spezzato la sommatoria per $i!=j$(la prima parte) e $i=j$ (la seconda parte), inoltre nella prima somma ha tenuto conto che gli eventi sono indipendenti quindi hanno covarianza nulla perciò $E[X_i * X_j]=E[X_i ]*E[X_j ]$ e nella seconda somma che $E[X^2]-E[X]^2=E[X^2]=var(X)=1$ perchè la media è nulla.
Infine nell'ultima eguaglianza ha tenuto conto che il valore atteso di ogni variabile è 0
la seconda eguaglianza ha spezzato la sommatoria per $i!=j$(la prima parte) e $i=j$ (la seconda parte), inoltre nella prima somma ha tenuto conto che gli eventi sono indipendenti quindi hanno covarianza nulla perciò $E[X_i * X_j]=E[X_i ]*E[X_j ]$ e nella seconda somma che $E[X^2]-E[X]^2=E[X^2]=var(X)=1$ perchè la media è nulla.
Infine nell'ultima eguaglianza ha tenuto conto che il valore atteso di ogni variabile è 0
tutto chiaro, grazie!
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